Courbes planes. — Une courbe plane possède une déve

4io COURS D'ANALYSE

loppée située clans son plan ; elle possède, en outre, une infinité de développées, dans l'espace, qui sont des hélices tracées sur le cylindre droit, ayant pour base la développée plane.

Développée plane. — Les normales à la courbe, situées dans le plan de la courbe, ont évidemment une enveloppe qui est la développée plane. Le point de contact M d'une de ces normales avec la développée est le centre de courbure M^ de la courbe donnée, relativement au pied M de la normale. En effet, ce point de contact M^ est le point de rencontre de deux normales infiniment voisines, c'est donc (X** 224) le centre de courbure. Ainsi la développée plane d'une courbe plane est aussi le lieu des centres de courbure de la courbe. Le tracé de cette courbe donne donc la représentation graphique de la variation du rayon de courbure.

Exemples. Ellipse. — Soit l'ellipse, rapportée à ses axes.

Les coordonnées d'un point M (.r, i/) de la courbe, en fonction d'un paramètre «, sont

X = acos u^ 1/ = bsin H.

L'équation de la normale à l'ellipse, au point M i^.r, //), est

(X~^)^a: + (Y — 7/)./// = 0, ou

— (X — a cos n) a sin u -f- (Y — h sin //) h cos u = 0,

ou enfin, en remplaçant a^ — h^ par c' et divisant par coswsinw, aX h\

cos u sin u

Pour obtenir le point de contact de cette droite avec son enveloppe, il faut associer à l'équation précédente sa dérivée par rapport au paramètre // :

flX sin u Fi cos u

sin'w

DEVELOPPEES

4ii

En résolvant ces deux équations par rapport à X et Y, on a les coordonnées du point de contact Mj, c'est-à-dire du centre de courbure de l'ellipse, relatifau point M. On trouve ainsi

1 = — s\n II.

Quand u varie de 0 à -^, le point M,

décrit un arc de courbe, situé au-dessous de O.r, tangent à O.v au point C

(X= — ,Y = 0J, qui est le centre de courbure relatif au som-

met A, et tangent à 0//, au point D (X=:0, Y = ^),qui est

le centre de courbure relatif h B.

On achève ensuite la courlje par symétrie.

Cycloïde. — La cycloïde est engendrée par un point M d'une circonférence, de rayon <?, roulant sur un axe fixe Ox.

Supposons que le point qui décrit la courbe parte de 0 : alors,

Fig. .38.

quand le cercle roulant est dans une position quelconque, on a, en appelant I le point de contact, 01 = arc IM.

Quand le cercle roulant a fait un demi-tour, le point M est au point le plus haut F de l'arc de courbe et le point de contact est en E à une distance OE = 7:^/, égale à la demi-circonférence roulante.

Ceci posé, la normale en M est MI et le centre de courbure M^

s'obtient en prenant IM^ = IM (X*'221). La développée est le lieu du point Mj.

Prolongeons FE d'une longueur EO^ = 2 « = FE et menons par O, une parallèle 0^a\ à Or. Puis, considérons le cercle symétrique du cercle roulant, par rapport à O^- ; ce cercle touche Oj x^ en un point I, ; il passe évidemment par M^. Xous allons montrer que

arcI^Mj = OJ^.

En effet

arc IjM^

arc IM, = OE — arc DI = OE = EI==:O.I..

L'arc I, Mj étant égal à 0^ I^, on peut considérer le lieu du point Mp comme décrit par un point d'une circonférence IiM,l, de rayon a, roulant sur Oj.r^ Quand la circonférence 1MB roule sur Ox^ la circonférence I,Mj I roule sur O^x^ dans le même sens, et, quand M arrive en F^ M^ arrive en O,; le mouvement continuant, M va de F en O^ et M^ remonte de O, en Oj. La développée de la cycloïde OFO^ est donc formée des deux moitiés d'une cycloïde égale à la proposée, l'arc OMj O, étant égal à FO^ et l'arc 0^0^ à OMF; ces deux arcs sont d'ailleurs égaux entre eux.

265. Développées dans l'espace d'une courbe plane. — Soit une courbe plane C, sa développée plane D,, et une développée

gauche D^. D'un point M de la courbe partent deux normales, Tune MM^ tangente en M^ à la développée plane D,, l'autre MMj tangente en Mj à la développée Dj.

Tout d'abord, la projection de 1)^ sur le plan de la courbe coïncide avec D,. En effet, la projection de la normale MMj se fait sui MMj ; si des droites sont tangentes à une courbe dans l'espace, il est évident que leurs projections sur un plan sont tangentes à la projection de la courbe; actuellement les droites MM^ sont tangentes \\ D^, leurs projections MM, sont donc tangentes îi la projection deD,. Ainsi D, est la projection de D,; le point de contact M, est la projection du point de contact M,. La développée

Fi g. i39.

DÉVE LOPPÉKS 4i3

gauche est donc tracée sur le cyliiulre dioil, ;iviinl pour l)ase la développée plane Dj. Comme l'angle M^MM, est ccMistant uV265), les tangentes MM^ à la courbe D^ font un angle constant avec les géiieiali ices du cylindre; la courbe D^ est donc une kclice tracée sur le cylindre droit ayant pour base D,.

Quand le point M décrit la courbe plane donnée, le plan MMjM^, tangent au cylindre le long de M^M^, s'enroule sur le cylindre et les deux droites MM^ et MMj s'enroulent sur les développées D, et Dj. On a ainsi un cas particulier des propriétés établies au N'* 263.

266. Développantes. — On appelle dès>eloppanle d'une courbe une autre courbe dont elle est la développée. Etant donnée une courbe C^, pour construire une de ses développantes, il suffit de porter sur chaque tangente M^M de la courbe une longueur / telle que :

arcOjMj + ; = r,

c désignant une constante (X° 203).

En faisant varier la valeur de cette constante, on obtient une infinité de développantes. Si on choisit Tare 0,A égal à r, on peut dire aussi qu'on prend sur cha({ue tangente M^M une longueur MjM égale à Tare M^A. La développante considérée coupe la courbe au point A (fig. 140).

Les diverses développantes d'une même courbe sont des courbes parallèles : en effet, si on considère une deuxième développante A'>F, les tangentes aux deux développantes, en M et M', sont perpendiculaires à MjMM' et, par suite, parallèles. La longueur MM' est constante et égale à l'arc AA'.

La détermination analytique des développantes d'une courbe exige une intégration, car elle exige le calcul de la longueur s^ de l'arc O^M^.

267. Exemples de développantes. 1** Dè^>eloppante de cercle, — Considérons la développante qui part du point A, situé sur Ox ; on l'obtient en portant, sur chaque tangente M^M, une

longueur M^M, égale à l'arc AM^. Soient u l'angle AOM^, a le rayon du cercle, les coordonnées du point M^ sont

^^=:acos?/, 7/j = rtsinz/.

L'arc AMj étant égal à au, on a M^M = au. En projetant OM^^Ï sur les axes, on a les coordonnées x qX, y du point M

x=^acosu-\-ausmu yx=z a sin u — au cos u.

Fig. 141.

On peut, avec ces formules, construire la courbe. La tangente, en M, est parallèle au rayon OM^.

La courbe AM, ainsi trouvée, a pour développée plane le cercle donné : elle a donc (N° 265) pour développées gauches des hélices tracées sur le cylindre droit ayant pour base le cercle.

2*^ Développante d'une cliaînette. — Soit une chaînette avant pour équation

Z/ = yie— -1-e-— j.

Nous allons déterminer la développante partant du sommet B de la courbe sur l'axe Oij (Voyez la figure 40 du N'^oT).

Soit M un point de la chaînette. On obtient le point correspondant de la développante, en portant, sur la tangente, une longueur MC égale à l'arc BM. Or nous avons vu (X° 57) que le point C s'obtient en abaissant du pied P de l'ordonnée de M une perpendiculaire PC sur la tangente, et que la longueur PC est égale à a. La tangente, en C, à la développante, étant perpendiculaire à CM, se confond avec CP. La développante, partant de B, est donc une courbe telle, que la longueur de ses tangentes CP jusqu'à l'axe Ox soit constante. C'est la courbe aux tangentes égales étudiée au N** 155.

Les autres développantes de la chaînette sont des courbes parallèles à la courbe aux tangentes égales.