AC, = R

Fier 1A2

Le long de cette courbe, on peut regarder les coordonnées d'un point x,y,z comme fonctions des,, et Ton a, d'après les formules de Frenet,

'^^ -^=*' -d^=^^ -irr^'

d^ a.' d?__^ EL— ^' ds^ ~ R, ' ds^ "~ R, ' 'd^ ~~ RT*

4i6 COURS D'ANALYSE

Mais, comme la courbe est sur la surface donnée, ces fonctions jo, y y z de s^ vérifient identiquement l'équation

z = f{x,y). DifFérentions les deux membres par rapport à 5j, nous aurons

dz ^f dx 0/" (///

ds^ 0.r ds^ 0// ds^

ou

Cette relation a d'ailleurs une signification géométrique évidente; elle exprime que la tangente AB est située dans le plan tangent, en A, à la surface.

Dans cette équation (2), y, a, [^ sont fonctions de s^, le long de la courbe. D'ailleurs, p et </ sont des fonctions de jc et y qui dépendent également de s^, le long de la courbe. On a donc, en dérivant par rapport à .s,,

Or

dp d/? dx d/j dy

ds^ O.r ds^ 0// ds^

dq Oy dx ô<jr dy

ds^ ^x ds^ dy ds^

ou encore, d'après les notations adoptées pour les dérivées partielles.

Portant ces expressions dans la formule (3) et tenant compte des formules de Frenet (1), on a

i;-pi-+'j\

/* -ir- + V-It- +'"«' + 2sa? + /3',

et, en résolvant par rapport à R,,

COtHliURE DES COUHBES TRAi lll.s \U R L,\E SU RI' ACE ji;

l);(iis critc formule, les valeurs numériques de /j,/Jj r^s, t dépendent seulement des cordonnées x et y, c'est-à-dire du choix du point A sur la surface, et non de la courbe particulière AM tracée, par ce point, sur la surface. Les quantités a, j3, y sont connues, (juand on connaît la tangente à la courbe et 7/, 3', y', (juand on connaît sa normale principale.

269. Théorème I. ^SV, par un point d'une surface, on trace une courbe (fuelconque, le rayon de courbure de cette courbe, en ce point, est égal à celui de la section plane de la surface par le plan osculateur à la courbe.

En effet, d'après la formule (4), une fois le point A choisi, R^ ne dépend que de a, ,3, y, a', jS', v • I^i est donc le même pour toutes les courbes passant par A, pour lesquelles ces six quantités sont les m«*'mes.

Kii particulier, si on considère la section de la surface par le phiii osculateur, en A, à la courbe AM, cette section plane est une courbe tracée sur la surface ayant, en A, même tangente et même normale principale que la courbe AM. Klle a donc même rayon de courbure R^.

Ce théorème ramène l'étude des rayons de courbure, en A, des courbes passant par A sur la surface, à l'étude des rayons de courbure des sections planes.

Nous allons établir maintenant un deuxième théorème, appelé théorème de Meusnier, qui ramène l'étude des rayons de courbure, en A, des sections planes, passant par A, à l'étude des rayons de courbure des sections normales.

270. Théorème II. Théorème de Meusnier. — Considérons une tangente AB ii une surface, en A, et une section de la surface par un plan BAN' passant par cette tangente iflg. 143) : soit AN' la normale principale à cette section, c'est-à-dire la normale située dans le plan de la section ; désignons par C, le centre de courbure de cette section. D'autre part, menons, en A, la normale AN à la surface et considérons le plan BAN ; ce plan, passant par la normale à la surl'ace, détermine dans la surlàce une section plane qu'on appelle une section normale. Soit C le centre de courbure

APPELL. Analyse. • a?

4i8 COURS D'ANALYSE

(le la section normale, point qui est situé sur la normale à la surface. On a, alors, le théorème :

Théorème de Meusnier. Le centrée de courbure C^ d*unc section oblique est la projection , sur le plan de cette section, du centre de courbure C de la section normale correspondante.

Pour démontrer ce théorème, reprenons les équations de la

normale, en A,

Choisissons arbitrairement, sur cette normale, un sens positif. Pour fixer les idées, nous prendrons comme sens positif la demidroite AN ayant pour cosinus directeurs

Vl-f-/H-7^ ' \/\-^p'-^q' ^i-Jrp'-hq-

le radical étant pris positivement.

Appelons 0 Tangle de la direction AN, ainsi définie, avec la normale principale AN' à la section oblique. L'angle 8 est aussi Tangle dièdre des deux plans BAN et BAN' de la section droite et de la section oblique. Il est donné par la formule

cos9 = Xa' + lJt|B'4-vy'; ou bien

cos ^ = — ^ ' —

En remplaçant, dans la formule (4), y' — y;a' — ry^' par sa valeur tirée de la relation ci-dessus, on a

0') «'^^S^Si-o.

/•a'-f- 26*ap + /p*

L'angle 8 peut être aigu ou obtus, le dénominateur /•a--[-2.saj3-|-/^^ peut être positif ou négatif, mais, comme R^ est positif, cosO a le même signe que rcf? -\-2s^^-\- 1*^^.

1** Supposons, pour fixer les idées, ra^-|-2«a^ + ;fl^>0, alors ô (fii^. 143, I) est aigu. Quand on fait diminuer 8, c'est-à-dire quand on fait tourner le plan sécant autour de la tangente AB, de

laron à le rapprocher de la section normale, Rj augmente, et, pour B = 0, le rayon de courbure prend la valeur

Le centre de courbure de la section normale s'obtient en portant sur AN une longueur AC = R. La comparaison des formules (5) et (6) donne

R,=:Rcos8;

Cette relation démontre le théorème, car elle montre que ACj est la projection de AC sur AS'.

2° Supposons raL^-^2saLp-\- t^-<0. Alors cos Ô est négatif, e est obtus (fiir. 143, II).

Si on fait tourner le plan de la section oblique BAN' autour

Fig. 143.

de BA, en faisant croître Ô, on voit que, pour 8=7:, le plan de la section oblique coïncide avec celui de la section normale, et la normale principale AN' de la section oblique vient coïncider avec le prolongement de AN au delà du point A. Le rayon R,, donné par la formule (5), tend alors vers

2sy.p-ht^*

et le centre de courbure C, de la section oblique tend vers un point C situé sur le prolongement de AN, à une distance AC=R. Dans cette hypothèse, la formule (5) donne

R,=:— RcosO, ou

R^ = Rcos(7r — 8),

4ao COURS D'ANALYSE

relation qui démontre le théorème de Meusnier dans ce cas, puisque, dans le triangle CAC,, l'angle CACj = 'îî — 9. La droite AC^ est donc la projection de AC sur AN^ En résumé, dans tous les cas, on obtient C^ en projetant C, sur le plan de la section oblique.

C'est là l'extension, à une surface quelconque, d'un théorème évident pour la sphère. Soit AB une tangente à la sphère en A : une section oblique, passant par AB, coupe la sphère suivant un petit cercle de centre C, ; la section normale, passant par la même tangente, est un grand cercle de centre C ; il est évident que le centre de courbure C, du petit cercle est la projection de C sur le plan de la section Fig. .44. oblique (fig. 144).

271. Convention pour le signe des rayons de courbure des sections normales. — D'après le théorème précédent, il sullit de connaître les centres de courbure des sections normales, en A, pour connaître les centres de courbure des sections obliques.

Nous sommes donc ramenés à étudier la position des centres de courbure des diverses sections normales, en A, c'est-à-dire des sections obtenues en faisant tourner le plan BAN autour de la normale AN.

Nous avons vu que le centre de courbure d'une section normale peut se trouver, soit sur la partie positive AN de la normale à la surface, soit sur le prolongement de AN [fig. 123, I et II). Dans le premier cas, le rayon de courbure de la section normale est :

dans le deuxième :

/■a^+2sa34-/3

Pour avoir une formule unique dans les deux cas, nous conviendrons de donner un signe au rayon de courbure d'une section normale, en regardant le rayon de courbure comme positif, quand le centre de courbure correspondant C est sur la partie positive

AN de la normale, et, comme négatif, dans le cas contraire. Avec cette convention, R désignera la valeur algébrique du segment AC estimé positivement dans le sens AN choisi sur la normale, et cette valeur algébrique R est donnée par la formule unique

ra*-4-26-a|ii + ^^3=^

Dans cette formule, le numérateur est positif; le dénominateur dépend de a, j3 : il varie, quand le plan de la section normale tourne autour de AM, car a, 3, y sont les cosinus directeurs de AB. Le signe de R dépend donc uniquement du signe du dénominateur.

Si rt — s* est positif (surface à courbure totale positive en A), le dénominateur de R a un signe constant, quels que soient a et fi : toutes les sections normales ont leurs centres de courbure d'un même côté de A. Ce fait peut être prévu, car, dans ce cas, la surface est tout entière d'un même côté du plan tangent en A, et toutes les sections normales tournent leur concavité dans le même sens.

Si rt — s^<0 (surface à courbure totale négative en A), le trinôme du dénominateur est tantôt positif, tantôt négatif; certaines sections normales ont leurs centres de courbure d'un côté de A, d'autres de l'autre côté. Il existe alors deux sections normales particulières, pour lesquelles R est infini : ce sont les sections normales, passant par les deux directions asymptotiques ADet AD', précédemment définies comme les tangentes, en A, à la courbe d'intersection de la surface par le plan tangent (Voyez fi^. 95).

En effet, pour que R soit infini, il faut et il suffit que les cosinus directeurs de la tangente AB vérifient la relation

Or — est le coefïicient angulaire de la projection de la tangente AB sur le plan xOy. Si donc, on appelle cp l'angle de cette projection avec Ox^

-^=tang»,

on a, pour déterminer cp, Téquation

t tang"'p -f-2s tango-f-r = 0;

;îi2 COURS D'ANALYSE

cette équation est précisément celle qui détermine les projections (les directions asymptotiques, au point A (N*^ 187).

Si rt — s^=0 (surface h courbure totale nulle, en A), R est toujours de même signe, car le trinôme r:L^-\-2srt.^j-{-t'^^ est un carré parfait. Mais R devient infini, pour une direction particulière de la tangente AB, qui est la direction asymptotique unique AD, existant actuellement en A.

272. Variation du rayon de courbure d'une section normale, en un point d'une surface. Indicatrice. Directions principales. — Il nous reste à étudier la variation des rayons de courbure des sections normales, en un point A. Nous allons montrer que, pour connaître les rayons de courbure de toutes les sections normales en un point, il suffit de connaître les rayons de courbure de deux sections déterminées, rectangulaires, appelées sections principales.

Pour simplifier cette étude, prenons le point A comme origine, comme plan des xt/ le plan tangent en A, comme axe des z la normale en A. On a alors, en appelant p^^ q^, r^, s^^ t^ les valeurs des dérivées p.^ </, r, s, t à l'origine

car le plan tangent, en A, coïncide avec jcOy. L'équation de la surface étant

si on développe z par la formule de Mac-Laurin, le développement commence par les termes du deuxième ordre, car la fonction z et ses deux dérivées premières p et q sont nulles à l'origine. On obtient donc le développement

- = "2- {''o •*■' -4- 2 s^ry -f- t^y") -h . . .

Comme nous le savons, le plan tangent, en A, coupe la surface suivant une courbe ayant, en A, un point double à tangentes réelles ou imaginaires, suivant la nature de la surface. C'est ce que nous pouvons vérifier. En coupant la surface par le plan ^ ^^ 0, on a la courbe

0=:i-(r,x'+2vy+r,y')+...

Les termes de moindre degré dans cette équation étant du deuxième degré, l'origine A est un point double de Tintersection, et les tangentes, en ce point, ont pour équation

Elles sont imaginaires, réelles ou confondues, suivant <[ue r^t^ — si est positif, négatif ou nul, c'est-à-dire suivant, qu'au point A, la courbure totale est positive, négative ou nulle, (^es deux tangentes AD et AD' donnent ce que nous avons appelé les directions asijniptotiques, au point A.

Rayon de courbure d'une section normale. — Considérons la section normale, faite par un plan z AB déterminé par la normale Ac et une droite AB, située dans le plan tangent xKij. Si on appelle cp l'angle de cette droite avec A.r, les cosinus directeurs a. ^3, y de AB sont

(8) a = cos'^, ^ = sin'^, v = 0.

La valeur algébrique R du rayon de courbure, comptée positivement dans le Fîg. i45.

sens Ac, est donnée par la formule (7),

où on fait p = rj =0, où on remplace r, *•, t par r^^s^jt^ et a, ,3, Y par leurs valeurs (8). On a ainsi

-— - = r^ cos^'^ -|-2so cos «^ si n cp -[- t^sm^ cp

Si C est le centre de courbure de la section normale considérée, R est le - du point C, de sorte que G est au-dessus du plan des j^i/ quand R > 0, au-dessous quand R < 0. En faisant varier », on peut étudier, d'une manière simple, la variation de R.

Nous examinerons successivement trois cas, suivant que r^tf^ — *o est positif, négatif ou nul.

Premier cas. r^ f^ — sl>0. — Dans ce cas, -^ conserve un signe constant, quel que soit cp.

Supposons /„>0. alors — est positif, tous les centres de courbure C des sections normales sont au-dessus de A : ce qu'on pouvait prévoir, car, dans ce cas, la surface étant, aux environs de A, au-dessus du plan tangent .rA//, toutes les sections normales tournent leur concavité vers les z positifs. Pour représenter géométriquement la variation du rayon de courbure R, nous porterons [fii^. 140), sur la trace AB de la section

Fîg. 14^^».

normale, une longueui