P AI--V/R

cette longueur est réelle, quel que soit cp, car R est toujours positif. Le lieu du point I, quand cp varie, est une ellipse de centre A. En effet, les coordonnées du point I sont

cos

sin

et l'équation (9), dans laquelle on remplace R par p^^ donne

— == r^ cos^ '^ -}- 2 s^j cos '^ sin cp -j- t^ sin- cp,

ou, en chassant les dénominateurs,

l = r„X^ + 2»-„XY + /„Y',

équation d'une ellipse de centre A. Cette ellipse étant tracée, pour avoir le rayon de courbure d'une section normale -AB, il suffit de prendre l'intersection de AB avec l'ellipse en I, le rayon de courbure demandé est Al . Cette ellipse s'appelle Vindicatrice relative au point A. Les deux directions d'axes Ail' et Ail'' de cette ellipse s'appellent les directions principales au point A. Comme, dans une ellipse, les diamètres maximum et minimum sont le grand et le petit axe, les sections, ayant pour traces les directions principales, sont celles qui ont le plus grand et le plus petit rayon de courbure. Les rayons de courbure maximum et minimum, R' et R", correspondant aux directions principales AH' et Ail", s'appellent les rayons de courbure principaux au point A.

COURBURE DES COURBES TRACEES SUR UNE SURFACE /li")

],os contres de courbure C et C'^ des sections principales -AU. -Ail s'appellent les centres de courbure principaux relatifs au point A.

Xoiis pouvons encore simplifier les équations, en prenant pour axes A.r et \j/ les axes de l'indicatrice Ail' et Ail'. Alors l'équation de l'indicatrice ne contient plus de rectangle XY et .s,, devient nul. On a donc, avec ce choix d'axes [fig. 147),

= /y cos2.p-f-/j,sin-'^, R = Al

Supposons le grand axe de l'ellipse dirigé suivant A.r ; pour = 0. R atteint son maximum R' et on a

De même, pour -^ = -^ 7 R atteint son minimum R" et on a

ir ~~^''

La formule donnant R s'écrit alors 1 1

cos

7/-sin*'f

Quand le plan de la section normale rAI tourne de z\U vers ::An'', le centre de courbure de la section part de C, descend d'une manière continue, pour arriver en C", quand AB coïncide avec AR". Ce plan continuant à tourner, R repasse par les mêmes valeurs dans l'ordre inverse.

Il peut arriver, en particulier, que les deux rayons de courbure principaux en un point A soient égaux : R' = R".

L'indicatrice en ce point est alors un cercle. Toutes les sections principales en un pareil point ont même rayon de courbure. On appelle un point de cette nature un ombilic de la surface.

Fig. 147.

COURS D'AyALVSE

Deuxième cas. / ^ /^ — .s'o "^0. — Reprenons la valeur de -^

(9) -ir =