s,,cos z> sin » -J- /- singes

Dans le cas actuel, la surface est à courbure totale négative au

point A : le trinôme, qui donne l'expression de — , s'annule pour

deux valeurs de tang cp

tang'i=:)., tang(p=V,

déterminant deux directions AD et AD^, qui sont asymptotiques en A.

Quand la trace AB de la section normale ^AB passe par une des positions AD ou AD', le rayon de courbure R change de signe

en passant par l'infini. Supposons, pour fixer les idées, que R soit positif, lorsque AB est situé dans l'angle DAD', appelé 1 sur la figure 148, et négatif dans l'angle adjacent appelé 2. Les sections normales, dont la trace AB est dans l'angle 1, ont leur centre de courbure sur A-; celles, dont la trace est dans l'angle 2, ont leur centre de courbure au-dessous de A. Cela tient à ce que la portion de surface, voisine de A, qui se projette sur l'angle 1 et son opposé au sommet, est au-dessus du plan des Ji/; celle qui se projette sur les angles 2, au-dessous. La surface traverse le plan suivant une courbe tangente, en A, aux droites AD et AD'.

Supposons d'abord la trace AB dans l'angle 1, alors R est positif. Pour étudier la variation de R, nous prendrons encore, sur AB, une longueur

p= AI=V^R.

Le lieu du point I, quand AB varie de AD à AD', est une hyperbole ayant pour asymptotes AD et AD'. Kn effet, l'équation du lieu du point I est, comme dans le cas précédent,

(I) l = ,-,X' + 2.s-„XY + /„Y';

F)g. li

équation d'une hyperbole (/„/„ — •''o^^) ^^ centre A, dont les directions asymptotiques sont AD et AD'. Cette hyperbole étant tracée, pour avoir le rayon de courbure d'une section normale 3AB, dont la trace rencontre cette hyperbole en I, il suffit de prendre

Prenons maintenant une section normale ^AB', dont la trace est dans l'angle 2. Alors R est négatif. Pour étudier la variation de R, nous prendrons, sur AB', un point F situé à une distance de A, telle que :

=zAr=V^— R.

Cette longueur est réelle, car R est négatif; le point F, ayant pour coordonnées polaires p' et '^, a pour coordonnées cartésiennes

X'= p'cos cp, Y' = p'sin cp.

L'équation (9), dans laquelle on remplace R par — p'^, donne, pour le lieu du point F,

^ = r^ cos^cp + 2 s^Qos cp sin cp + t^ sin' cp,

ou, en passant aux coordonnées cartésiennes,

C'est là l'équation d'une nouvelle hyperbole conjuguée de la précédente (I).

Cette hyperbole est tracée en pointillé sur la figure 148.

Cette hyperbole étant tracée, pour avoir le rayon de courbure d'une section normale ^AB', dont la trace rencontre cette hyperbole en F, il suffit de prendre

R = — Âï''.

Ainsi, le rayon de courbure d'une section normale quelconque est déterminé en grandeur et en signe, dès qu'on a tracé ces deux hyperboles conjuguées asymptotes aux directions asymptotiques AD et AD'. L'ensemble de ces deux hyperboles s'appelle encore

V indicatrice relative au point A. Les directions des axes des deux hyperboles, Ail' et Ail'', sont les directions principales en A, les CI rayons de courbure correspondants

^ R' et R''(run positif, l'autre négatif) sont les rayons de courhure princi- . paux ; les centres de courbure correspondants C et C" (l'un au-dessus, l'autre au-dessous de A) sont les centres de courbure principaux.

Si nous prenons, comme axes

coordonnées [fig. 149), les axes de

la quantité s^ s'annule et la formule.

Fig. 149.

l'indicatrice. Ail' et Air'

donnant R, devient

/„ sin^:

Dans la figure, nous supposons /'„>0; alors t^ est négatif. Pour cp = 0, le rayon R a un minimum R' donné par

le centre de courbure correspondant est en C. Quand '^ augmente à partir de zéro, le rayon R = Al augmente, le centre de courbure C de la section -AB va en montant sur kz. Quand la trace AB du plan de la section normale coïncide avec la direction asymptotique AD, R devient infini, C s'éloigne indéfiniment sur kz.

Si le plan i:AB continue à tourner dans le même sens, sa trace AB' rencontre ensuite l'hyperbole conjuguée 1' et on a