R= — AT

Le rayon R est d'abord négatif et très grand, puis il diminue en valeur absolue et, pour cp = T:, il prend la valeur négative donnée par la formule

le centre de courbure de la section cAB, d'abord \\ l'infini au-des-

COUliDURE DES COURBES TRACEES SUR UNE SURFACE jiq

SOUS de A, monte jusqu'à la posillon C, correspondant à la section rAll '^ La valeur de ]X" est donc un maximum relatif pour R. Si le plan normal continue à tourner, R repasse par les mêmes valeurs dans l'ordre inverse.

La formule donnant R s'écrit encore

= 117 cos-'^4- TT7, sin^?.

Il peut arriver, en particulier, que R'^ = — R^; alors l'indicatrice est formée de deux hyperboles équilatères conjuguées.

Troisième cas. i\ t^ — .vj = 0. — Dans ce cas, la courbure totale est nulle en A. Les deux directions asymptotiques définies par l'équation

se confondent en une seule AD. Si nous nous reportons à l'expres-

sion de -rr-

/•„ cos- '^ -J- 2.VyCos'^ sincp -\- 1^ sin'a.

nous voyons que le trinôme du deuxième membre est un carré parfait, qui conserve un signe constant quand '^ varie. Ce trinôme s'annule pour une seule valeur de tang'^, correspondant précisément à la direction asymptotique unique AD.

Supposons, pour fixer les idées, /'o>0.

Alors -TT- est toujours positif; toutes les

sections normales rAB ont leur centre

de courbure au-dessus du plan tangent xKy. Pour étudier la

variation de R, portons, sur la trace AB du plan de la section

normale, une longueur :

et cherchons le lieu du point L On trouve, comme plus haut, que ce lieu a pour équation

'I) l = r,X»+2s,XY + /,Y«.

Ce lieu est encore une conique, ayant son centre en A; mais, comme cette conique est du genre parabole,

elle se compose de deux droites parallèles. C'est ce qu'il est aisé de vérifier, en multipliant l'équation par r^ et remplaçant r^t^ pari'o; l'équation devient

d'où

équation de deux droites parallèles. Ces deux droites sont, d'ailleurs, parallèles h la direction asymptotique unique AD qui existe dans ce cas. On appelle ce système de deux droites V indicatrice relative au point A. Cette indicatrice étant tracée, le rayon de courbure de la section normale ::AB s'obtient en prenant

R = ÂÏ',

I désignant le point de rencontre de l'indicatrice avec AB. L'indicatrice a encore deux axes de symétrie, l'un An' perpendiculaire aux deux droites, l'autre An'' parallèle aux deux droites et, par suite, confondu avec AD. Ce sont les directions principales : les rayons de courbure et les centres de courbure correspondants sont les rayons de courbure et les centres de courbure principaux.

Prenons les directions principales KW et hl\" pour axes

[fig. 151). Alors Sy = 0, et comme

Vo — V=û,

le produit r^^t^ est nul.

Supposons i\ > 0, alors t^

— = t\ cos'j, R = AI ,

COURBURE DES COURBES TRACÉES S l /{ i .\ E SU RE ACE i îi Pour cp = Oj R passe par un minimum R donné par

R' "'"' • le centre de courbure correspondant est en C Quand cp augniciitr, R augmente, le centre de courbure C de la section rAB monte

sur A-, et, pour cp=-— , R est infini. Quand '^ croît de -7^ à t:,

R repasse par les mêmes valeurs en sens inverse. Actuellement, R a donc un minimum R', qui est l'un des rayons de courbure principaux et pas de maximum. On peut dire qu'il a un maximum R'' =x , ou encore, que l'autre rayon de courbure principal est infini.

La formule, qui donne R, devient, dans ce cas,

Rksimé. — En résumé, si on prend pour axes les deux directions principales AO' et All'^ et si on appelle R' et R'^ les rayons de courbure principaux correspondants, avec leur signe, le rayon de courbure R d'une section normale, dont la trace AB sur le plan tangent fait avec Ail' un angle cp, est donné par la formule :

Dans le dernier cas que nous venons d'examiner, R'' = oo ; la

formule devient alors