COS^'J
273. Détermination des directions principales et des rayons de courbure principaux, en un point. — Nous venons de voir que, pour connaître le rayon de courbure d'une section normale quelconque passant par un point A, il suffit de connaître les directions principales Ail' et Ail", en A, et les rayons de courbure principaux R' et R" correspondants. Voici comment on peut calculer ces éléments.
Les axes étant supposés rectangulaires, mais choisis d'une manière quelconque, nous avons trouvé, pour la valeur algébrique (lu rayon de courbure R d'une section normale, dont la trace AB D sur le plan tangent a pour cosinus di-
recteurs a, j3, Y :
Fi g. xyi.
Quand on fait varier AB, R varie et il s'agit de trouver les directions de AB ^' rendant R maximum ou minimum (ce ^^ seront les directions principales) et les valeurs maximum et minimum de R (ce seront les rayons de courbure principaux). Ce problème se ramène au problème élémentaire de la recherche du maximum et du minimum du quotient de deux trinômes. En effet, on a, entre les trois cosinus a, [5,^, la relation
nous pouvons donc écrire
Mais on a (X" 2G8)
relation qui exprime que AB est dans le plan tangent en A. On a donc
Le deuxième membre étant homogène en a et ,3, divisons haut et bas par a et faisons
il vient
R ( i-f-<y8);/fa-^- 2 /;<y/;^-f-l -!-/>«
sni
([uotient de deux trinômes du deuxième degré en /;/.
La ([uantilé m est le coenicient angulaire de la projection AjB, de AB sur le plan horizontal. Quand le plan de la section normale tourne autour de la normale en A, sa trace AB sur le plan tangent tourne autour de A et la projection A^B^ de cette trace tourne autour de Aj. La quantité m varie de — x à-f-x .11 s'agit de trouver les valeurs de /«, rendant R maximum ou minimum, et les valeurs maximum ou minimum de R.
Directions principales. — Les valeurs de m^ rendant R maximum ou minimum, s'obtiennent en égalant à zéro la dérivée du deuxième membre par rapport à m :
[(1 + q^) m -hpq)] {tm^ + 2 sm + /) —
{tm H- 5) [(1 -h g') rn^-h 2pqm + (1 -hjj'j] = 0,
ou, en réduisant,
(10) m' [s (1 + f) —pqt] 4- m [r (1 + q^) — t (1 +y.^)]
-f- pqr — *• (i -\-p^) = 0.
Cette équation en m a deux racines réelles, ni' et m'\ qui sont les coeflicients angulaires des projections A^Oi et A^ïll' des directions principales Ail' et AB" sur le plan des J7?/.
On peut déterminer les directions principales par une autre méthode, quand on connaît les directions asymptotiques AD et AD' au point A. Les directions principales sont alors les bissectrices des angles formés par les directions asymptotiques.
Rayons de courbure principaux. — Si l'on fait :
la quantité S est maximum ou minimum en même temps que R.
Or on a
fil) g (i + '/')'n^ + 2p,,m-hl+,>^
^ ' (m'-\-2sm-\-r
et il faut trouver le maximum et le minimum de S. A une valeur donnée de S, la relation (11) fait correspondre deux valeurs de m.
APPELL. Analyse. «8
Pour qu*une valeur donnée de S soit un maximum ou un minimum, il faut et il suffit que les valeurs correspondantes de m soient égales.
L'équation en m est
/;2^[(1 + '/'-) — ^S] + 2//^[y.ry— 6S]-|-(l+7^^) — /•S = 0. Pour qu'elle ait ses racines égales, il faut et il suffit que l'on ait
ou, en ordonnant et changeant les signes,
(12) S\n— s») — S [(1 +p') t + {i + q')r- 2pqs]
Cette équation en S a deux racines, S^ et S'^, qui sont le maximum et le minimum de S, c'est-à-dire de . —
Le maximum et le minimum de R sont donc
On a ainsi les deux rayons de courbure principaux.
274. Courbure totale. — On appelle courbure totale, en un point d'une surface, la quantité
Cette quantité est égale h
c'est-à-dire, en remplaçant S'S'^ par le produit des racines de l'équation (12)
rt — A«
On voit donc que, conformément aux définitions déjà posées, la courbure totale est positive, négative ou nulle, en même temps que rt — s*.
( 01 nui IIE DES COURBES TRACI 1^ W // IWK si i;i A( /. ij>
Les surfaces, qui sont à courbure totale nulle, en tous leurs points, sont telles qu'en tous leurs points on ait
Nous verrons plus tard que ce sont les surfaces dèvelopjjahlcs.
275. Courbure moyenne. — On appelle courbure moyenne d'une surface, en un point, la quantité
facile à exprimer à l'aide des coeflicients de l'équation donnant S. Les surfaces à courbure moyenne nulle :
