Exemple. — Soit le paraboloïde hyperbolique équilalèrc
z = xy.
Cherchons les directions principales et les rayons de courbure principaux, en un point A quelconque de la surface (fig. 153).
Actuellement, nous connaissons les directions asymptotiques en chaque point ; en effet, le plan tangent, en un point A, coupe
la surface suivant deux génératrices rectilignes AD et AD' passant par A. Cette ^~-- intersection est une courbe à point / D ^ double et les tangentes, en A, à cette courbe, c'est-à-dire les droites AD et AD' elles-mêmes, forment les direc- ^ Y' ,.^3 tions asymptotiques. Les directions
principales, en A, sont donc les bissectrices An' et An" des angles formés par les génératrices rectilignes passant par A. Nous avons actuellement
L'équation donnant
est ICI
Elle a pour racines
S' = .ry + V/(1+X»)(l + .//), S" = :ry - 1/(1 +^'^) {!+//).
Les deux rayons de courbure principaux sont alors R/ == S' v/l4-.r*-h//% R'' = S'' >Ji-^a;'-+-t/' .
La surface a, en tous ses points, une courbure totale négative, car
Elle a une courbure moyenne nulle, aux points appartenant aux deux axes Ojc et Oi/. En effet, si .r =0 ou // = 0, on a
donc
/; /• ( ■ D /•; Dr s i: s rni'ACE e s rs pois t
(le fait est aisé à vérider géométriquement, car, en un point A (le Or. par exemple, il passe deux génératrices du paraboloïde : 1 iiiu' Al) coïncide avec 0.r, l'autre AD est perpendiculaire à Or.
En ce point A, les directions asymptotiques sont donc rectangulaires. L'indicatrice est formée de deux hi/perboles èquilatères et on a 1V+1V'==0.
n. - ÉTUDE GÉOMÉTRIQUE DUNE SURFACE AUTOUR D'UN POINT. AUTRE DÉFINITION DE L INDICATRICE .
277. Définition géométrique de V indicatrice. — Soit, comme plus haut,
- = "2- (' V^' + -VU + /o//') + . . . ,
l'équation d'une surface rapportée à une normale Ar en un point quelconque et au plan tangent en ce point.
Soit un plan A', parallèle au plan tangent .rA?/, situé au-dessus
Fig. i54
de ce plan à une distance infiniment petite AA'= -. Ce plan coupe la surface suivant une certaine courbe, qui se projette en vraie grandeur sur le plan horizontal {Jtg. 154). L'équation de cette projection est
où z est une constante positive infiniment petite. Soit M un point de cette courbe voisin de A', P sa projection sur le plan tangent
.r\y : construisons la figure homothétique du lieu du point P, en prenant comme centre d'homothétie A et comme rapport d'ho-
mothétielaquantitc-i===--757^- ^^^^'^y sur chaque rayon AP,
il faut prendre un point I tel que :
Al 1 -i2 ÂF
AP
Nous allons vérifier que, z étant infiniment petit, le lieu du point I est une conique ayant pour équation
(I) r„X^H-25,XY + /J^=:l.
En effet, le point Payant pour coordonnées jc et //, et le point I pour coordonnées X et Y, la relation
AP = AIV'2T,
donne, immédiatement,
YV^2T;
en portant ces valeurs de .r et t/ dans l'équation (P) du lieu du point P, on a, pour lieu du point I,
r(/-„X'+2«„XY + /„Y^)
OÙ tous les termes non écrits contiennent - T en facteur. Divi- X sant cette équation par z et faisant tendre r
vers zéro, on obtient, comme lieu du point I, la conique (I).
Dans ce qui précède, nous avons coupé la surface par un plan parallèle au plan Fig. iSr». tangent, placé du côté des - positifs.
Prenons de même un plan A", parallèle
au plan tangent .rAy, mais du coté des z négatifs : ce plan coupe
la surface suivant une courbe, dont la projection est représentée
par l'équation (P), où ^ a une valeur constante ncgatwe {fig. 155).
Soit M un point de cette courbe, P sa projection horizontale ;
amplifions encore le rayon vecteur AP dans le rapport / et
[)renant
ETUDE D'VyE SURFACE EN US POINT 439
car
nous aurons, comme lieu du point F, la conique (I') ,-,X'+2s„XY + /,Y»=-l.
En effet, on a actuellement
en portant dans l'équation (P), divisant par 3 et faisant tendre z vers zéro, on obtient l'équation de la conique (F). L'ensemble des deux coniques (I) et (F) forme l'indicatrice de la surface au point A. La partie (I) de l'indicatrice provient des plans sécants, parallèles au plan xKy du côté des - positifs, l'autre partie (F) Jirovient des plans sécants, parallèles au plan xXy du côté des - négatifs.
On a donc ainsi un moyen simple de définir les indicatrices en un point.
278. Rayon de courbure d'une section normale. — Soit AB la trace d'une section normale et supposons que cette section soit une courbe AM tournant sa concavité vers le haut [fig. 154) . La droite AB étant tangente en A à la courbe, et MP étant la distance de M au plan des ^//, le rayon de courbure en A est positif, et a pour valeur (X** 225)
^ y AF y ÂP'
Soit, sur AB, le point I de l'indicatrice défini par la relation
On a alors
R=Tl*;
44o COURS D'ANALYSE
on retrouve ainsi la représentation du rayon de courbure, à Taide de l'indicatrice.
Soit, de même, AB la trace d'une section normale tournant sa concavité vers le bas [fig. 155), M un point de cette section voisin de A, P sa projection. La valeur absolue du rayon de courbure de cette section, en A, est
Il m
Mais, d'après nos conventions, ce rayon de courbure doit être regardé comme négatif. On a donc :
