R ,. AP

R = — lim

Comme la distance MP est égale à — -, z désignant l'ordonnée de M qui est négative, on a encore

H==:lim— ^r •

JL .Z

Mais, pour définir le point F de l'indicatrice, on a pris

Ar =lim :y^--

— • jL .z

On a donc

R=:— Ai".

279. Remarque. — On peut présenter ces résultats de la façon suivante. En coupant une surface par un plan parallèle au plan tangent, en un point non singulier, à une distance infiniment petite de ce plan, et regardant la courbe d'intersection, au voisinage du point de contact, avec une loupe d'un grossissement infini, on aperçoit une conique, ayant le point de contact comme centre. Cette conique est l'indicatrice : c'est une ellipse, une hyperbole ou un système de deux droites parallèles, suivant que la courbure totale de la surface au point considéré est positive, négative ou nulle. Les axes de cette conique donnent les directions principales de la surface au point considéré ; ses directions asymptotiques donnent les directions asymptotiques de la surface

ÉTUDE D'iWE SIHFACE EN IW POIST 44»

au point considéré: elles coïncident avec les tangentes, au point de contact, à l'intersection de la surface par le plan tangent.

280. Cas particulier des surfaces du deuxième ordre. — Les théorèmes précédents sont alors évidents, car, dans une surface du deuxième ordre, les sections faîtes par des plans parallèles sont homothétiques. Donc, dans une de ces surfaces, pour obtenir une courbe homothétique de la section de la surface par un plan parallèle à un plan tangent et infiniment voisin de ce plan, il sufïit de prendre la section de la surface par un plan parallèle au plan tangent, à une distance finie de ce point convenablement choisie, ef de part et d'autre.

Il est évident, d'après cela, que, pour un ellipsoïde, l'indicatrice en un point est une ellipse ; pour un hyperboloïde à une nappe, elle est formée de deux hyperboles conjuguées, ayant pour directions asymptotiques les génératrices du point de contact ; pour un cylindre, elle est formée de deux droites parallèles à la génératrice de contact.

281. Usage de V indicatrice pour la détermination des tangentes à l'intersection de deux surfaces tangentes en un point. — Quand deux surfaces sont tangentes, en un point A, elles se coupent, en général, suivant une courbe ayant un point double en A. Supposons qu'on ait construit les indicatrices des deux surfaces en ce point, courbes qui sont situées dans le plan tangent commun en A. On a alors le théorème suivant :

Les tangentes à l'intersection., an point A, sont les diamètres communs aux indicatrices des deux surfaces.

En effet, prenons le point A comme origine et comme axe Xz la normale commune aux deux surfaces. Les équations de ces surfaces sont

(S) c = 4-('V''+ 2 -vry + '„.'/') + . . . ,

Pour obtenir la projection de l'intersection de ces deux surfaces sur le plan des .ry, il faut éliminer - entre ces deux équa-

lions, ce qui se fait en les retranch.int membre à membre. On a ainsi, comme projection de l'intersection

Les termes de moindre degré étant du deuxième degré, la courbe présente un point double à l'origine A. Le plan des xy étant tangent aux surfaces, en A, les tangentes à la courbe d'intersection dans l'espace, au point A, se confondent avec les tangentes à sa projection : ce sont donc les deux droites représentées par l'équation

Or ces droites sont précisément les diamètres communs aux deux indicatrices

/•^X^-|-25^XYH-/,Y^ = dbl,

où les signes des deuxièmes membres se correspondent. En effet, pour avoir les diamètres communs à ces deux coniques, il suffit de retrancher leurs équations membre à membre, ce qui donne l'équation des tangentes écrite plus haut.

Si les indicatrices des deux surfaces, en A, n'ont pas de points réels communs, les deux tangentes sont imaginaires, le point A est un point isolé pour l'intersection des deux surfaces.

282. Faraboloïde osculateur. Tore osculateur. — Une surface étant rapportée à un de ses points A pris comme origine et à la normale en ce point comme axe des -, on peut, en développant z par la formule de Mac-Laurin, écrire l'équation de la surface sous la forme

La loi de la courbure des sections normales faites autour du point A, et, par conséquent, la loi de la courbure de toutes les sections planes piissant par A, ne dépend que des coefficients /•„, Sq, /j,. Cette loi est donc la même pour une deuxième surface tangente à la première au point A et pour laquelle r^.s^^f^ ont