ÉTUDE D'USE SURFACE ES T.V POIST

les nu^mes valeurs. C'est ce qu'on voit aussi par la géométrie, en remarquant que la variation du rayon de courbure des sections normales est représentée à l'aide de l'indicatrice.

cette indicatrice ne dépendant que de r^, a^, t^, deux surfaces tangentes, en A, pour lesquelles ces trois coefficients ont les mêmes valeurs, ont les mêmes indicatrices, et, par suite, deux sections normales ou deux sections planes quelconques, faites par un même plan dans les deux surfaces, ont même rayon de courbure, en A.

Ainsi, au point de vue de l'étude de la courbure des sections planes passant par A, on peut substituer à une surface une autre surface tangente, pourvu que /•„, s^, /„ soient les mêmes, ou encore, pourvu que les directions principales et les rayons de courbure principaux, en A, soient les mêmes.

Voici deux façons simples de réaliser cette substitution.

Paraboloïde osculateur. — Considérons la surface

(P) z.= l-{r,v^ + 2s,nj + t„,f),

obtenue en supprimant dans le développement i^^S) tous les termes suivant le groupe des termes du deuxième degré. Cette équation définit un paraboloïde qu'on nomme paraboloïde osculateur h la surface en A. Dans le voisinage de A, on peut substituer à la surface un petit fragment de ce paraboloïde ; la loi de la courbure des sections planes n'est pas altérée.

Si on prend pour axes A.r et A//, les directions principales Ail' et An" et si on appelle R' et R-' les deux rayons de courbure principaux, on a

l'équation du paraboloïde osculateur est donc alors

coins D'ANALYSE

Ce paraboloïde est elliptique ou hyperbolique, suivant que la surface est à courbure totale positive ou négative. Dans le cas où la courbure totale ^st négative, les directions asymptotiques de la surface S, en A, coïncident avec les génératrices rectilignesdu paraboloïde osculateur P passant par A.

Si la courbure totale de la surface S au point A est nulle, l\'=cc et le paraboloïde osculateur devient un cylindre parabolique

— il ^— 21V'

tangent au plan des .vi/ suivant la droite unique avec laquelle se confondent alors les deux directions asymptotiques de la surface donnée S.

Tore osculateur. — On peut aussi construire facilement un tore ayant, en A, mornes directions principales et mêmes rayons de courbure principaux que la surface donnée.

Soient An' et AïF' les directions principales, C et C" les centres de courbure principaux correspondants. Dans le plan de section

Fi g. i5().

principale rAll', traçons le cercle de centre C et de rayon C'A = R'. Dans le plan de section principale ^All", traçons, de même, le cercle de centre C et de rayon CA=R''. Supposons ensuite qu'on fasse tourner le cercle C" autour d'un axe CF, mené par C perpendiculairement au plan du cercle C Nous engendrons ainsi un tore, qui est tangent à la surface donnée en A. En outre ce tore a, on A, les mêmes directions principales

ETUDE D'ryE srnFACE EX r.v poryr

An' et An' que la surface donnée : cela est évident, par raison de symétrie, car la droite Ail' est tangente h l'équateur du tore en A et Ail" au méridien. Enfin ce tore a, en A, les mêmes rayons de courbure principaux que la surface proposée, car les deux sections principales, en A, étant l'équateur et le méridien, leurs centres de courbure sont les centres C et C" de ces deux cercles .

Nous avons figuré ce tore [fi^. 150, I et II), en supposant successivement que la surface est à courbure totale positive ou négative.

Si la surface est à courbure totale nulle, R'==rX , le tore se réduit à un cylindre de révolution ayant pour base le cercle C", tangent au plan des .r// le long de Ail'.

283. Application. Rayon de courbure de la projevlion d'une courbe. — Soit une courbe gauche AB que l'on projette orthogonalement sur un plan Q en ab : désignons par AX' la normale principale ii la courbe au point A, par p le rayon de courbure de

Fig. i.>7.

la courbe en A et par AT la tangente : cette tangente se projette en ai; nous appellerons cp l'angle de AT avec sa projection at. Considérons, d'autre part, le cylindre projetant la courbe AB, et appelons AN la normale en A à ce cylindre, OTangle NAN^ Le cylindre constitue une surface S sur laquelle est tracée la courbe AB ; et, d'après le théorème de Meusnier, le rayon de courbure p de la courbe AB est égal au rayon de courbure R de la

section normale faitC; dans le cylindre, parle plan TAN multiplié par cos 8

(1) p = Rcosô.

Il s'agit de calculer maintenant le rayon de courbure R^ de la courbe ah en a y c'est-à-dire le rayon de courbure d'une section droite quelconque du cylindre. Menons la section droite du cylindre passant par A, AE : soit Ail' la tangente à cette courbe en A, An'' la génératrice aA prolongée : ces deux droites An' et An" sont les directions principales du cylindre en A, car l'indicatrice du cylindre, en A, est réduite à deux droites parallèles à la génératrice. Les rayons de courbure principaux du cylindre, au point A, sont : le rayon de courbure R' de la section normale Al^^ menée par An' et le rayon de courbure R" =00 de la section normale menée par Ail". La section normale NAT a, sur le plan tangent au cylindre en A, une trace AT faisant avec An' l'angle '^; le rayon de courbure R de cette section est donc donné par la formule (N« 272)

= R, cos-?-^ j^„ :

ou, comme R" = 00 ,

sin

Éliminant R entre les deux relations (1) et (2), on a

cos' cp

' cosli

Cette formule donne le rayon de courbure de la projection au point a.

Cas pahticuijehs. — 1** Si le plan de projection Q est parallèle à la tangente AT, on a y = 0, doii

cosQ

ÉTi DE u lm: sl niACi: i:.\ i .\ roiyr 447

2'' Si le plau de projection est perpendiculaire au plan osculateur en A à AB sans l'être à la tangente AT, on a 8 = —,

la projection présente alors une inflexion en a, ce que nous avons démontré déjà d'une autre manière (N® 170).