III. - INTÉGRALES DÉFINIES
30. Dèûnition. — Soit /'(.r) une fonction continue donnée et '^ (.r) une fonction ayant pour dérivée f(x)
nous avons appelé intêi(rale indéfinie de la différentielle f[x) dx et désigné par la notation j f [x] dx la fonction la plus générale ayant pour différentielle f[x) dx ; nous avons vu que Ton a
FONCTIOys PRIMITIVES. INTÉGRALES DÉFINIES 47
OÙ C est une constante arbitraire.
Assujettissons cette intégrale à s'annuler pour une valeur don-
née de ^, X = a\ nous aurons
Nous affecterons d'un indice inférieur a l'intégrale indéfinie ainsi particularisée, de sorte que nous aurons
jj[x)djc = ':^[a:) — '^[a).
Géométriquement {fig. 13), si on trace la courbe y = f(jc)^ cette expression donne la valeur algébrique de l'aire du segment
Mo
, ai
Fig. i3.
PjjM^jMP depuis l'ordonnée M^^P^,, correspondant à l'abscisse a, jusqu'à une ordonnée quelconque MP d'abscisse x. En effet cette aire s'annule manifestement quand x =^ a ou quand P coïncide
avec P^j.
Cherchons maintenant la valeur de l'intégrale | f{x) dx^ pour une valeur donnée attribuéee à x,x = b, nous aurons une expres-
f{a-) dx et qui a pour valeur
Ç f[x)dx = o{h)-o{a];
Ja
cette expression est rintàgrale définie de f{x) dx prise entre les limites a et h. La quantité a est la limite inférieure ; h la limite supérieure : l'expression s'énonce « somme de a à bf{x)dx)). Géométriquement (fig. 13) cette intégrale représente la valeur algébrique de l'aire du segment de la courbe 1/ ^f[x) depuis
Tordonnée M^^P^, d'abscisse a jusqu'à l'ordonnée M, P, d'abscisse h.
Analytiquement ce symbole
ff{x)d.v
est la limite de la somme algébrique des rectangles inscrits :
Xb f[x) dx = lim [(.r, — a) f[a) -\- [x^ — x,) f(x^) + ...
