Équation différentielle des lignes de courbure
Soit une surface ayant pour équation
si, sur cette surface, on considère une ligne de courbure L^, les coordonnées d'un point A de cette ligne peuvent être regardées comme des fonctions d'un même paramètre ).
Fig. i58.
Appelons, comme précédemment, y>>, </, r, s, / les dérivées partielles premières et secondes de r, par rapport à v et i/. Ces dérivées sont des fonctions de x et //, et, par suite, le long de la ligne de courbure, des fonctions de A par l'intermédiaire de.r eii/. Quand  croît de dX, le point A subit un déplacement infiniment
LKjyiJs DE COU uni HE 449
petit A A', jc et y croissent de djc et dy^ z, p et (j croissent de leurs différentielles :
dz =pdx -j- (jdij ,
dp = rdx -\- ad If ,
d(j =r sdx H- tdy.
Les équations de la normale AN à la surface, au point A [x, y, z), sont
ou, en égalant les deux premiers rapports au troisième, (1) X = — //Z + .r+yy-,
Dans ces équations, .r, //, 3, />» et ry sont, le long de la ligne de courbnre, des fonctions de a. Nous devons exprimer que la normale (1) engendre une surface développable. Or, les équations d'une droite étant mises sous la forme :
X=rtZ-f-//, Y = //Z + X-,
où a^ h, It, k sont fonctions d'un paramètre A, pour que cette droite engendre une surface développable, il faut et il sullit que les deux équations dérivées
/o\ /A 'M da dli ^ „ dh dk
^ ^ dK dK dk dh
donnent, pour /, la même valeur, c'est-à-dire que l'on ait
dh dk
da dû
(lomme, dans les équations 1}, on a
a= — p, h-= — <i, h = x-\-pz, k=y-hqzy
la condition cherchée est :
d{x-{-pz) ^ d(y-hfjz)
dp dq
APPELL. Analyse. 29
r>() cou H s D'ANALYSE
|]n développant, on a :
ds -j- pflz -f- z(f/) dji -\- (ji1z-\- zdq Tp "~ dq
, , zdi) zdq
ou, en supprimant les deux termes égaux et ^ »
dx-\-j)dz dij-^qdz ^^^ dp ~ dq
Si Ton remplace ^/c, f/y>>, ^<y par leurs expressions ci-dessus, la condition (,'{) devient
(i-hir)d.v-hpqdi/ ^ pqd.v^{i-^q')df/ rdx -f- sdy sd.v -f- tdij
Vax chassant les dénominateurs, on voit que cette équation est du deuxii'me degré en dx et dy. Elle prend, en efï'et, la forme
(4) d,f[{\.+,,')s-pqt\ + dxdy [(1 + r/^) r - (l +/) /]
+ dx\p,jr — {i+p')s]=Q.
Vax divisant par </.r-, on obtient une équation du deuxit'me degré en —— . Ce résultat montre que, par cJiaquc point de la surface,
il passe deux lignes de courbure. Va\ elTet, si on projette le point A sur le plan horizontal, en A^, et la ligne de courbure en LJ, la tangente AIT à la ligne de courbure, en A, se projette horizontalement, suivant la tangente A,n[ à la projection LJ. Le rapport -j- est le coeflicient angulaire de la tangente, en Aj, à la projection LJ de la ligne. Les coordonnées .r et // du point Aj étant données, les (juantités z, p, q, /', .v, / sont déterminées, et l'étjua-
tion (4) donne pour —.— deux valeurs : par le point A,, passent
donc les projections, LJ et L[', de deux lignes de courbure, tangentes aux deux droites A, IlJ et A, FI,", dont les coellicicnts angulaires sont racines de l'équation (4). Cette équation s'appelle V équation difj'èrentielle de la projection des lignes de courbure sur le plan desxy.
LIGMCS DE COURBURE 45i
286. Théorème I. Les deux lignes de coiirhure^ pussanl par un point A d'une surface^ ont pour tangentes^ en ce points les deux directions principales XW et X\\" .
Pour démontrer ce théorème, portons Torigine au point A (Voyez figure 147 ou 149 ou 151) en prenant comme axe des z\'a normale en A, comme axes des x et des y, les directions principales au point A. Alors (N° 272) p, </, ,s' deviennent nuls, /• et t prennent des valeurs r^ et t^. L'équation du deuxième degré (4j, donnant les coefficients angulaires des tangentes aux projections horizontales des deux lignes de courbure passant par A, devient
(t,~r^)dxdy=0,
elle donne donc : ou bien
ou bien
dx^O.
L'une des tangentes aux lignes de courbure, passant par A, est donc l'axe \y ou A 11'^, et l'autre l'axe, \x ou AH'.
Autre démonstration. — Sans faire le changement d'axes cidessus, nous pouvons démontrer le théorème comme il suit. Si,
dans l'équation du deuxième degré (4), nous remplaçons -j— par/;2,
cette équation devient
m^[{i-^q')s-pqt]-^m\{:V + q')r-[\-\-p')t]^ pqr — {i-hp')s = 0.
On reconnaît alors qu'elle est identique à l'équation du N®273, donnant les coefficients angulaires des projections A^Il,' et A,nj' des directions principales sur le plan des xy (fig. 152-158). Les lignes de courbure sont donc, en projection, tangentes à A,n,' et Ajllj', et, sur la surface, elles sont tangentes aux directions principales Ail' et Xlï\
287. Théorème II. — Soit AN la normale, en A, à la surface : par le point A, passent deux lignes de courbure 1/ et L" [fig. io8]. Si le point A décrit la ligne L', la normale à la surface enveloppe une certaine courbe : soit C, le point de contact de AN
avec cette enveloppe. Si le point A décrit la ligne 17', la normale h la surface a, de même, une enveloppe : soit C , le point de contact de AN avec cette deuxième enveloppe.
Les points C et C" sont les deux centres de courbure pj'incipaux relatifs au point A.
Quand une droite mohile
dont les coefficients dépendent d'un paramètre \, a une enveloppe, les coordonnées du point de contact de la droite avec son enveloppe vérifient les équations dérivées par rapport à A
da dh ^ dh dk
d\ ' cD. dl ' d}.
Le Z du point de contact est donc donné par les deux équations compatibles
0 = Zda + d/t , 0 = Zdh + dk .
Actuellement, il s'agit de Tenveloppe des normales
T.e Z du point de contact de la normale avec son enveloppe est donc fourni par les équations compatibles
0 = — Up-^ d (r ^pz\, 0 = — 'Ldq + d [y-^qz),
ou, en développant,
(6) 0 =— Z [rdx + sdij) + dx -\-pdz -f- zdp,
0 = — Z («rAr 4- tdij) -^dy-^ qdz + c^ry .
Portons alors l'origine au point A et prenons, comme plus haut, pour axes la normale AN et les deux directions principales An' et An". Nous aurons
/• et / prenant des valrurs r^ et t^.
Les équations (6), donnant le Z du point de contact de la normale AN avec son enveloppe, deviendront alors
7) 0 = — ■ Zr^dx -\- dx, 0 = — Vj^dy -\-dy.
