LIGNES DE COURBURE

Si on dépluce la normale, le long de la ligne de courbure U , tangente à Taxe des r, on a {Ii/ = Oj dx étant différent de zéro. La deuxième des équations (7) est identiquement satisfaite et la première donne pour le Z du point de contact C/

c'est-à-dire

R^ étant le rayon de courbure principal correspondant à la direction principale Ail'. Le point de contact C est donc bien le centre de courbure principal, relatif à la direction principale An'.

De même, si on déplace la normale, le long de la ligne L", on a

rf.r=:0, Jyi^Q;

la première des équations (7) est identique, la deuxième donne

c'est-à-dire

Le théorème est donc démontré.

288. Résumé. — En résumé, les lignes de courbure d'une surface forment deux familles de courbes, \J et L", se coupant respectivement à angle droit. En chaque point A de la surface, les directions principales, Ail' et Ail", sont les tangentes aux deux lignes de courbure passant par ce point, et les centres de courbure principaux de la surface, en A, sont les points où la normale, en A, touche les deux courbes qu'elle enveloppe, suivant qu'on déplace son pied sur la ligne L' ou la ligne L".

On voit que la connaissance des lignes de courbure d'une surface entraîne la connaissance de tous les éléments nécessaires à l'étude de la courbure de la surface en chacun de ses points.

Remarque. — Il faut bien remarquer que C et C" sont les centres de courbure des sections normales de la surface menées

par An' et AII'^ {^fig. 158), et non les centres de courbure des deux lignes de courbure.'D'après le théorème de Meusnier,pour déterminer le centre de courbure de la ligne U , en A, il faudrait connaître le plan osculateur P à cette courbe, en A, et projeter ensuite le point C , centre de courbure de la section normale, sur le plan P.

Le lieu des points C est une développée de la ligne de courbure U, puisque ce lieu est l'enveloppe d'une suite de normales à h' . De même, le lieu des points C" est une développée de h".