Lignes de courbure d'un paraboloïde hyperbolique
èquilatère. — Soit la surface
a Actuellement,
L'équation différentielle de la projection des lignes de courbure sur le plan des a^y étant, en général,
d.x-\-])dz dy-\-qdz
dp d(j
devient actuellement
dy dx
Chassant le dénominateur et réduisant, nous avons {a^^x')dif — [a^-\-if)dx^=.^,
équation du deuxième dcffré en -7^ . On en tire
" dx
En intégrant cette équation différentielle, on a Téquation, en
/.i(;\/:s DE coinnuiiK
termes liiiis, <le 1;» piojtetlon des lignes de courbure sur le phiii des .vy. En séparant les variables, on peut écrire
(tx
dy
ou, en intégrant.
log (^ + \/«* -h .*•' ) =t log ;// -f- \/a'
loff K,
K désignant une constante arbitraire.
Suivant le signe choisi, on a l'un ou l'autre des deux systèmes de lignes de courbure.
Le signe -\- donne, en passant des logarithmes aux nombres,
et le signe —
x-^s/cr^ x'
En faisant varier KetK', on a ainsi les projections horizontales des deux familles de lignes de courbure.
290. Lignes de courbure des surfaces de révolution. — Dans une surface de révolution, les lignes de courbure sont les parallèles et les méridiens.
En effet, considérons une surface de révolution, d'axe O.r et de méridienne AM. Les normales à la surface, le long d'un parallèle quelconque AP, forment un cône dont le sommet CJ est sur l'axe de révolution. Elles engendrent donc une surface développable, dont l'arête de rebroussement est le point C (fig. 159).
De même, les normales à la surface, le long d'un méridien AM, sont dan^ le plan du méridien. Elles ont donc une enveloppe, qui n'est autre chose que la développée plane de la méridienne, et le point de contact C" d'une
COURS UWSM.YSi:
normale AN avec cette enveloppe, est le centre de courbure de la méridienne, au point A (N^ 2G4 .
D'après cela, en un point A d'une surface de révolution, les directions principales sont les tangentes An' et AFl'^ au méridien et au parallèle passant par A, et les centres de courbure principaux correspondants sont : 1^ le point C, où la normale, en A, coupe Taxe de révolution, 2" le point C, centre de courbure de la méridienne au point A.
Par exemple, si l'on considère la suriace de révolution engendrée par une chaînette
tournant autour de l'axe O.r, les centres de courbure principaux, en un point A, sont : l'un sur l'axe 0.i-, en C, l'autre au centre de courbure C'^ de la chaînette. Comme le rayon de courbure d'une chaînette est égal à la normale (N" 220), on a kC = AC", les deux rayons de courbure principaux sont égaux et de signes contraires,
et la surface a une courbure moyenne nulle en chaque point. On a ainsi un exemple simple de surface d'étendue minimum
291. Surfaces dèveloppahles. — Sur une surface développable, les lignes de courbure sont constituées par les génératrices rectilignes et les trajectoires orthogonales de ces génératrices, c'est-à-dire les développantes de l'arête de rebroussement.
En efi'ot, le plan tangent étant le même tout le long d'une génératrice M, M, les normales à la surface le long de la ligne M, M
Fijf. iGo.
ifi^. IGO) engendrent un plan : on peut dire qu elles ont pour enveloppe un point C rejeté à Tinfini sur une des normales. Nous connaissons ainsi un des systèmes de lignes de courbure. Ti'autre système est alors
LICXES ASYMVrOTiqUES 4^7
loriné des courbes tracées sur la surface et coupaut les lignes du premier système, c'est-à-dire les génératrices reetilignes, à angle droit. (les courbes sont les développantes de l'arête de rebroussement M^D,. On peut les tracer en déroulant un fil enroulé sur l'arête de rebroussement M,I), : un point du fil décrit une ligne de courbure de la deuxième famille.
On voit que l'un des rayons de courbure principaux, en chaque
point, est infini; la courbure totale -^777/7 est donc nulle, en chaque
point. Nous verrons plus loin que, réciproquement, une surface, dont la courbure totale est nulle, en chaque point, est une surface dèifeloppahle.
292. Exercice. — Si deux surfaces se coupent sui\uint une ligne Ly qui est li^ne de courbure sur chacune délies^ elles se coupent y le long de cette ligne, sous un angle constant.
Réciproquement y si deux surfaces se coupent sous un angle constiini, tout le long d'une ligne L, et si cette ligne est ligne de courbure pour une des surfaces ^ elle est aussi ligne de courbure pour l'autre.
Ce théorème est une conséquence immédiate du théorème relatif à deux développées d'une même courbe, d'après lequel les normales, tangentes respectivement aux deux développées, se coupent, tout le long de la courbe, sous un angle constant (\° 203] .
