II. — LIGNES ASYMPTOTIQUES
293. Définitiox. — Les lignes de courbure possèdent la propriété d'être tangentes en chacun de leurs points A à l'une des directions principales en ce point. On appelle lignes asyniptotiques d'une surface des lignes tracées sur la surface de telle façon qu'en chacun de leurs points A elles soient tangentes à l'une des directions asymptotiques en ce point.
Comme les directions asymptotiques, en un point A, ne sont réelles que si, en ce point, la courbure totale est négatii>e ou nulle, les lignes asymptotiques ne peuvent exister que sur les portions de la surface formées par les points A où la courbure totale est négative ou nulle.
Î58 COl/iS ]> ASALYSE
294. Équation différentielle des lignes asymptotique s projetées sur le plan des xy. — Nous avons vu (N" 187) qu'eu un point A d'une surliice, il existe deux directions nsyniptotiques AD et AD', réelles ou imaginaires, ayant pour projections horizontales deux droites A^K et AjhV, dont les coedicients angulaires sont racines de l'équation
(1) tm--\-2sm-]-r = 0,
/•, s, t désignant les valeurs des dérivées secondes de z par rapport à j: et 7/, au point A.
Si donc on considère, sur la surface, une ligne asymptotique passant par A, cette ligne admettra pour tangente AD ou AD', et sa projection horizontale admettra pour tangente AjE ou A^E' (/?„-. 152).
Le coefTicient angulaire de la tangente à une courbe, dans le plan
des^^, est-T^ . Pour que ce soit la projection d'une ligne asymptotique, il faut et il sufïit que ce coelïlcient soit racine de l'équation (1), c'est-ii-dire que l'on ait
ou, en chassant les dénominateurs,
(3) nW 4- '2 sdvdij -h tdy'- = 0.
Telle est l'équation difïerentielle des lignes asyniptoliques. Elle est du deuxième degré en —j^ : pour que les valeurs de-y^ soient réelles, il faut et il suffit que l'on ait
c'est-î»-dire que la courbure totale soit négative.
En intégrant cette équation, on trouvera, sur la surface, deux systèmes de lignes asymptotiques correspondant aux deux valeurs
de —r- • dx
L I c A / s A sy M r I (, I I (ji I S I >9
|{i:.M Vitni »:. — î/r(|iiiit uni (liHV-iriilu'll»' cU's ligiH's ;jsviU|>toti({uos pont s'écrire sous la lornie simple
(4) (ijj(Lv-\-firjrfi/--.0.
10 11 cilet, on a
dp = f'd.v -h ay///, (ifj =^- .vr/.r -\- idif,
en remplaçant clans (4), on retrouve bien l'écpiation \,\).
295. Lignes asymptotiques dune surface réglée gauche, — Sur une surface réglée gauche, une des directions asvmptotiques AD, en chaque point A, est la génératrice AG passant par ce point : l'autre direction asymptotîque AD', en A, est alors nécessairement réelle. L'un des systèmes de lignes asymptotiques est donc formé par les génératrices rectilignes, car, en chaque point A d'une génératrice rectiligne AG, la tangente AD à la génératrice est une direction Fig. i()i.
asymptotique (^fig. 161).
L'autre système est formé par les courbes, admettant pour tangentes les droites telles que AD', qui donnent, en chaque point, la deuxième direction asymptotique.
Exemple. — Soit la surface réglée
3 = A* arc tff -^— ,
appelée hélicoïde gauche eï plan dî fer feu r. Cette surface est engendrée de la façon suivante. Considérons un cylindre de révolution autour de 0^ : sur ce cylindre, une hélice, de pas // = 2-A-, partant du point A de Oj' {/ig. SS) ; puis, prenons une droite mobile N'M, s'appuyant sur l'axe O-, sur l'hélice, et restant parallèle au plan des jcy; cette droite décrit l'hélicoïde en question. On a, actuellement,
Al/ kx
2 kxij k ( //- — x^) 2 kxy
L'équation différentielle
rdx^ + 2 sdjcdij -j- tdif = 0 ,
des Jignes. asymptotiques est donc ici
xydjc' -\- [i/^ — .2'*) dxdt/ — xi/dt/^ = 0 .
En la résolvant par rapport à -t^> on trouve les deux valeurs
di/ y dfi X
dx X dx y
qui donnent les projections horizontales des deux systèmes de lignes asymptotiques. La première valeur de —~~ conduit à une
équation, qu'on p€
!ut écrire :
du
dx
ou, en
intégrant,
= log
.r-f-logC,
Cette équation représente des droites passant par l'origine : ce sont les projections du premier système de lignes asymptotiques, formé par les génératrices rectiligncs de la surface, N'M.
La deuxième valeur de —j — conduit à une équation qu'on peut
écrire :
xdx-\-ydy=:i)^ et, en intégrant,
a désignant une constante arbitraire.
Les lignes asymptotiques du deuxième système ont donc pour projections horizontales des cercles de centre O. Sur la surface, ce sont des hélices, de pas h = 2Tzk\ tracées sur des cylindres de révolution autour de Ov. L'une de ces lignes est l'hélice directrice elle-même.
On peut remarquer que, dans cet exemple, les deux systèmes
LIGNES ASYMPrOTIQUES »6i
de lignes asymptotiques se coupent à angle droit, en chaque point de la surface, au point M, par exemple. En chaque point, les directions asymptotiques sont donc rectangulaires ; l'indicatrice est formée de deux hyperboles équilatères conjuguées, et la courhure moyenne est nulle. La surface considérée est donc une surface d'étendue minimum.
296. Lignes asymptotiques d'une surface développable. — (lomme, en tout point d'une surface développable,/-^ — s- est nul, les deux directions asymptotiques en tout point sont confondues. IjCs deux systèmes de lignes asymptotiques se confondent <'n un seul qui est formé par les génératrices rectilignes.
297. Théorème. Pour /jit'une ligne soit une ligne asi/mp/ofif/nr d'une surface, il faut et il suffît (jtteîi chacun de ses points, so/i plan osculateur soit tangent à la surface.
En effet, imaginons d'abord une ligne quelconque tracée sur une surface. Le long de cette ligne, x,ij,z sont des fonctions d'un paramètre X vérifiant identiquement l'équation
de la surface et toutes celles qu'on en déduit par différentiation. Une première différentiation donne, avec les notations précédentes,
(5) dz = pd.v -\- fjdt/ .
Une nouvelle différentiation donne
(6) d^z =pd^x -h qd^y -f- dpdx -4- dpdij . En général, pour qu'un plan
soit osculateur à une courbe, il faut et il suffit (N**164) que l'on ait les deux conditions
(7) kdx -4- ^dy 4- ^dz = 0, kd^x + ^dhj -f- Cd'z = 0.
\i')2 corn S D'ANALYSE
Actuellement, nous voulons chercher ce que doit être la courbe pour que le plan tangent à la surface
lui soit osculateur. Les conditions (7) que doit remplir la courbe cherchée deviennent alors
dz — pd.v — (jdij =0, (^^ d^z —pd^v — (jd'i/ = 0 ;
en les rapprochant des relations (5) et (6), qui ont lieu pour une courbe quelconque, on voit que la courbe cherchée doit vérifier la condition
dpdv -f- f^^dtj = 0.
C'est donc une ligne asymptotique.
Par exemple, si on considère la surface réglée S, engendrée par les normales principales MN' d'une courbe gauche , cette courbe gauche est une ligne asymptotique de la surface S, car son plan osculateur, en un point M, est évidemment tangent à la surface, en ce point, comme contenant la tangente à la courbe, en M, et la génératrice MX'.
