III. - LIGNES DE NIVEAU ET LIGNES DE PLUS GRANDE PENTE
298. DÉFINITION. — Considérons une surface quelconque rapportée à trois axes rectangulaires, le plan des :ri/ étant horizontal. On appelle lignes de niveau de la surface les sections de la surface par des plans horizontaux
Ces lignes se projettent en vraie grandeur sur le plan des :ry : si la surface a pour équation
les projections horizontales des lignes de niveau ont pour équation
ucyEs DE MVEAU ET u(j.\/:s i>i: r/.rs chasde pe.we
On appelle lignes de plus ^ntndc pe/ite les lignes tracées sur la surlace et coupant à angle droit les lignes de niveau.
299. Équation différentielle des lignes de plus grande pente. — Pour établir l'écpiation dillérentielle de la piojection lioil/.ontale des lignes de plus grande pente, appelons p et fj les dérivées partielles du - d'un point de la surface, par rapport i» .veit/. Nous savons qu'un déplacement infiniment petit quelconque (Lcj dijy dz effectué sur la surface vérifie la relation
dz = pdx -\- qdij .
Par un point M de la surface, passent une ligne de niveau MX et une ligne de plus grande pente MP (fig. 162). Appelons alors
Fig. lOu.
d^v, dj/, d^z les projections d'un déplacement infiniment petit MM, efFectué sur la ligne de niveau, et ^/.r, dt/, dz^ celles d'un déplacement infiniment petit MM', efFectué sur la ligne de plus grande pente.
On aura
d^z=pd^:ic^qd^y.
Mais, comme le long de la ligne de niveau, -est constant, r/,r est nul et on a
pd^:r-hf/d^i/ = 0.
D'autre part, les déplacements MM, et MM' étant rectangulaires, on a
djcd^x -\- dyd^y -f- dzd^ 3 == 0,
',64 COURS DWNALYSE
c'est-à-dire, puisque d^z est nul,
(10) dx(1^:c-\-diid^y^{)^
ou bien
D'après la condition (9), on
du
dx ~
!}), on
'lu
dx
pdij-
-qd
donc
;ii)
dette équation est l'équation difierentielle des projections horizontales des lignes de plus grande pente. Si l'équation de la surface est résolue par rapport à :;
les (quantités p et </ sont immédiatement des fonctions connues de .r et /y, et il reste alors à intégrer l'équation (li). Si l'équation de la surface n'est pas résolue et est de la forme
on a, pour déterminer y^ et </, les deux relations (N® 184)
