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La condition (11) devient alors
où il faut regarder la quantité z, qui peut rester dans — — et ^-^ — >
comme une fonction de x et //, définie par réquation de la surface. Il faudra alors intégrer cette équation (12).
Li(;\/:s 1)1-: .sivkau et lignes de plis Gn.iyDE pi:mi: i»r»
Ui-MAugii:. — Les projections liorizonldles des lignes de /j/tts grande pente coupent à angle droit les projections horizonlulcs des lig/ics do nivean : cela tient à ce que, dans l'espace, Tangle droit M, MM' a un de ses côtés MM, parallèle au plan de projection .^()// : il se projette donc suivant un angle droit, (^e même fait est exprimé par l'équation (10) qui signifie que, dans le plan
des .///, les droites, ayant pour coefficients angulaires -y— et —M-^
sont rectangulaires.
300. Lignes déplus grande pente d'un ellipsoïde. — Soit un ellipsoïde, rapporté à ses axes,
a- Ir c
Les lignes de niveau sont les ellipses 3 = C^% obtenues en coupant la surface par des plans parallèles au plan horizontal.
(Calculons p et </. On a, en difïerentiant par rapport à x et regardant r comme une fonction de x,
de même.
tr ^ 6-
L'équation différentielle
pdif — (plx =0,
de la projection horizontale des lignes de plus grande pente est donc, en remplaçant/; et <y par leurs valeurs,
(^ette équation peut être intégrée immédiatement : en effet, on peut séparer les variables x et //, en écrivant
du dx
tj X
APi'ELL. Analyse. {o
OÙ m est la constante -— . On a alors, en intégrant et désignant par k une constante d'intégration,
log// = m log.r H- logA-, ou
Telle est, en termes finis, l'équation de la projection horizontale des lignes de plus grande pente.
Comme vérification, supposons l'ellipsoïde de révolution autour de 0-. Alors
et la projection horizontale des lignes de plus grande pente est donnée par l'équation
qui représente des droites issues du point O.
C'est ce qui est évident à priori, car, dans ce cas, les lignes de niveau sont les parallèles de la surface de révolution et les lignes de plus grande pente les méridiens.
