IV. — LIGNES GÉODÉSIQUES

301 . Définition . — On appelle ligne gèodèsiqne d'une surface une ligne tracée sur la surface, de telle façon que le plan osculateur en chacun de ses points soit normal à la surface. On peut dire aussi que le plan osculateur, en chaque point, contient la normale à la surface, en ce point ; ou encore que la normale principale à la courbe, en chaque point, est normale à la surface. On rencontre ces lignes, quand on cherche le chemin le plus court d'un point à un autre^ sur une surface donnée. Ce chemin est nécessairement formé d'un ou de plusieurs arcs de lignes géodésiques.

Pour nous rendre compte de cette propriété, nous emploierons des considérations tirées de la mécanique. Si on voulait pratiquement déterminer le plus court chemin , entre deux points AetB, sur une surface parfaitement polie S, on tendrait entre les deux points, sur la surface, un fil assez fin pour que son poids soit négligeable par rapport à sa tension. 11 est évident que toute posi-

LIGNES GEODESIQUES 467

lion d'équilibre stable de ce fil donnerait une ligne joignant ces deux points et plus courte que les lignes infiniment voisines.

Nous allons montrer que cette figure d'équilibre est une ligne géodésique, c'est-à-dire une courbe telle que le plan osculateur, en chacun de ses points M, contienne la normale MN à la surface. En effet, si on considère un élément ds du fil, placé en M, la S3ule force extérieure, agissant sur cet élément, est la réaction F de la surface, réaction dirigée suivant la normale MX [fig. 163), car la surface est supposée parfaitement polie. Or, on démontre, en mécanique que, si un fil est en équilibre, la résultante F des forces extérieures, appliquées à l'élément ds, est située dans le plan osculateur au fil.

Actuellement, la force F étant dirigée suivant la normale MN, cette normale est située dans le plan osculateur, en M, à la courbe d'équilibre. C'est ce que nous voulions démontrer.

Les deux points A et B étant donnés, il peut exister plusieurs positions d'équilibre stable d'un fil tendu sur la surface, entre les deux points. Chacune d'elles donne une ligne réalisant un minimum, pour la distance curviligne entre les deux points sur la surface : ce minimum est relatif, c'est-à-dire que chacune des positions d'équilibre stable donne une ligne plus courte que toutes les lignes infiniment voisines tracées sur la surface entre les deux points A et B. Si l'on voulait la ligne donnant, sur la surface, le minimum absolu de la distance curviligne des deux points, il faudrait prendre la plus courte de toutes les lignes précédentes donnant des minimums relatifs.

Ainsi les chemins les plus courts, entre deux points, sur une surface, sont formés par des lignes géodésiques, joignant les deux points. Mais la réciproque n'est pas exacte : une ligne géodésique, joignant deux points donnés, n'est pas nécessairement plus courte que les courbes infiniment voisines, tracées sur la surface entre ces deux mêmes points.

Imaginons, entre deux points A et B, une ligne géodésique de cette nature, c'est-à-dire une ligne qui n'est pas plus courte que toutes les courbes infiniment voisines tracées sur la surface entre

les deux points ; cette ligne est encore une position d'équilibre d'un fil tendu sur la surface entre les deux points, mais cest une posilion (T équilibre instable : c'est une position d'équilibre qui serait irréalisable si la surface était parfaitement polie et qui ne peut être réalisée physiquement que grâce au frottement.

302. Lignes gèodèsiques du plan. — On peut dire que les lignes géodésiques du plan sont les droites du plan. En effet, le plus court chemin d'un point A à un point B, sur un plan, est la droite AB. Cette droite est la position d'équilibre d'un fil tendu sur le plan de A en B.

303. Lignes gèodèsiques d'une sphère. — Les lignes géodésiques d'une sphèie sont les grands cercles de la sphère. En

effet, le plan osculateur, en un point quelconque d'un grand cercle, étant le plan de ce grand cercle, ce plan osculateur passe par le centre de la sphère : il contient donc la normale à la sphère.

Si l'on prend, sur la sphère, deux points A et B, il existe deux lignes géodésiques joignant ces deux points (^fig. 164) :

1*^ L'arc de grand cercle AMB plus petit qu'une demi-circonférence ;

2** L'arc de grand cercle APB supérieur à une demi-circonférence.

Ces deux arcs réunis forment un grand cercle complet. Prenons-les l'un après l'autre.

L'arc AMB est le plus court chemin, de A en B, sur la sphère : c'est une position d'équilibre stable, pour un fil tendu sur la sphère, entre les deux points.

L'arc APB, au contraire, n'est pas un minimum relatif pour la distance entre les deux points A et B sur la sphère , car il est possible de trouver, d^ A en B, un chemin infiniment voisin et plus court, comme celui (|ui est figuré en pointillé. Cet arc APB serait encore une position d'équilibre d'un fil tendu sur la sphère entre les deux poinls A et B ; mais ce serait une position d'équilibre instable, car, pour peu qu'on écarte le fil de cette position, il glisse sur la sphère et se détend.

LIGNES GÉODÉSJQUES

304. Lignes gèodèsiques d'un cylindre. — Les lignes géodésiques d'un cylindre sont les hélices tracées sur ce cylindre. Nous avons vu, en effet, que le plan osculateur à une hélice quelconque contient la normale au cylindre.

Nous pouvons vérifier ce résultat d'une autre façon : Soient deux points A et B sur la surface : imaginons une ligne plus courte que les lignes infiniment voisines tracée sur le cylindre de A en B. Si l'on développe le cylindre sur un plan, comme les longueurs des courbes tracées sur le cylindre ne changent pas, la ligne considérée deviendra la ligne la plus courte entre deux

Fi g. i65.

points d'un plan, c'est-a-dire une ligne droite. La ligne considérée sur le cylindre est donc un arc d^hélice. Cette ligne est la figure d'équilibre stable d'un fil tendu sur le cylindre entre les deux points.

Supposons que le cylindre ait pour section droite une courbe fermée, comme un cylindre de Yé\o\vxûoi\. K\oys, par deux points donnés A et B de la surface, il passe une infinité de lignes géodesiques qui donnent chacune un minimum relatif pour la distance curviligne des deux points sur la surface.

En effet, représentons-nous la surface du cylindre comme un rouleau de papier d'une longueur indéfinie, l'épaisseur du papier étant infiniment petite. Supposons, en outre, que les points A et B soient marqués sur toutes les feuilles superposées du rouleau ; c'est ce qu'on réaliserait, par exemple, en perçant, avec une épingle, toutes ces feuilles superposées aux points A et B. Alors,

470 COURS D'AJSALYSE

en déroulant ce rouleau de papier sur un plan, on obtiendrait une bande de papier portant des points A^, B,, A^, B^, . . . , A„, B„, . . . , [fig. 165), en nombre indéfini, provenant tous des traces des deux points A et B ; en enroulant de nouveau le papier, tous les points Ap Ag,..., A„ iraient se placer sur x\, tous les points B^ B^,..., B„ sur B. La droite A^B, donnera, après l'enroulement, un arc d'hélice joignant^ les deux points A et B, et cet arc sera pjus court que tout arc de courbe infiniment voisin tracé entre AetB, sur le cylindre, puisqu'il se développe suivant une droite. De même les droites A^B^, A^Bg,..., B^ A^, BjAg donnent, après l'enroulement, des arcs d'hélice joignant les deux points, chacun de ces arcs étant plus court que toute courbe infiniment voisine entre A et B. On arriverait à ce même résultat avec des fils tendus sur le cylindre^ entre les deux points. En effet, on pourrait tendre directement un fil sur le cylindre entre les deux points A et B, suivant AMB ou APB, en le faisant tourner devant ou derrière ; mais on pourrait aussi tendre des fils entre A etB, après les avoir enroulés sur le cylindre une, deux,..., n fois, dans un sens ou dans l'autre.

305. Lignes géodèsiques des surfaces développables, — Dans le développement d'une surface développable sur un plan, les lignes les plus courtes de la surface doivent devenir les lignes les plus courtes du plan, c'est-à-dire des droites.

Ainsi, les lignes géodèsiques d'une surface développable sont les lignes de la surface qui, dans le développement, deviennent des droites.

306. Déformation d'une surface: les lignes géodèsiques se conservent. — Soit une surface S quelconque : regardons cette surface comme une pièce d'étoffe parfaitement flexible, mais inextensible. Si l'on déforme cette étoffe, la surface change de forme; mais les lignes géodèsiques se conservent. Si on a tracé sur la surface S une ligne géodésique, cette ligne est encore ligne géodésique de toutes les surfaces obtenues en déformant l'étoffe. Cela tient à ce que, l'étoffe étant inextensible, la longueur des lignes qu'on y trace reste invariable, et, par suite, les lignes les plus courtes restent les plus courtes.

LIGyES GEODÉSiqUES I71

On peut remarquer aussi que, dans cette déformation, l'angle sous lequel se coupent deux lignes tracées sur la surface ne change pas.

307. Courbure gèodèsique d'une ligne quelconque tracée sur une surface S. — Comme, sur une surface S, les lignes géodésiques jouent le même rôle que les lignes droites sur un plan, on est conduit, par analogie avec l'expression de la courbure d'une courbe plane trouvée au n^ 225, à la notion de courbure géodésique.

Considérons une ligne quelconque L tracée sur une surface S; menons la ligne géodésique ^Ig (^fig. 166) tangente à cette ligne L, en un point M, et, d'un point infiniment voisin M', pris sur L, abaissons la ligne géodésique M'P perpendiculaire à ^li^^. On appelle rayon de courbure gèodèsique de la courbe au point M la limite vers laquelle tend

MPle rapport .quand le point M' tend vers M. En appelant H,^

le rayon de courbure géodésique de la ligne L, au point M, on a donc, par définition,

R.= lim