MT

La courbure géodésique est - — . Le rayon de courbure géo-

désique, ainsi défini, ne change pas quand on déforme la surface, comme une pièce d'étoffe flexible et inextensible, car, les lignes géodésiques se conservant, les longueurs des arcs MP et M'P restent invariables, ainsi que l'angle M'PM.

308. Expression du rayon de courbure géodésique. — On peut démontrer le théorème suivant que nous admettrons. Le rayon de courbure géodésique d'une ligne tracée sur une surface S, en un point M, est égal au rayon de courbure y en ce même point, de la projection de cette ligne sur le plan langent à la sur^ face en M.

(]e théorème conduit à une expression simple du rayon de courbure géodésique. Soit z le rayon de courbure, en M, d'une ligne L tracée sur S; MX' la normale principale à cette ligne et h l'angle qu'elle fait avec le plan tangent à S en M. Si on projette la ligne L sur ce plan tangent, le rayon de courbure de la projection est (n** 283) — î— 77 • On a donc : •* ^ ' cos fi

Telle est l'expression du rayon de courbure géodésique. Quand on déforme la surface regardée comme flexible et inextensible, R^,

ne chancre pas ; o et 8 varient, mais — ^—r- est invariable. ^ ^ ^ eos y

Applicatiox. — Soit une ligne L, tracée sur une surface développable. Appelons z son rayon de courbure, en un point M, et 0 l'angle du plan osculateur à la ligne, en ce point, avec le plan tangent à la surface au même point.

- Si on développe la surface sur un plan, la ligne L devient plane et son rayon de courbure, en M, prend une valeur ^' . T.e rayon de courbure géodésique n'a pas changé. Avant le développement, il était donné par

après, il est

car la courbe est tracée sur un plan.

On a donc

cosO

Points d'inflexion du développement. — Les points d'inflexion du développement sont les points où p' est infini, c'est-à-dire : 1" les points où le plan osculateur de la ligne L est normal à la

surface développable (ô =-^ j ; 2** les points où la ligne L a un

rayon de courbure infini (p = ao ).