THÉORÈME DES TASGESTES CONJUGUÉES

V. — DIRECTIONS CONJUGUÉES. — RÉ3EAUX CONJUGUÉS. THÉ9RÉQ1E DES TANGENTES CONJUGUÉES

309. Directions conjuguées. — Soient une surface quelconque S, A un point sur cette surface. On dit que deux droites AB et AB', passant par A, sont des directions conjuguées, quand elles sont situées dans le plan tangent, en A, et forment un système de deux diamètres conjugués de l'indicatrice, relative au point A. i^ar exemple, les directions principales, en un point A d'une surface, sont conjuguées, car elles coïncident avec les axes de l'indicatrice.

310. Réseaux conjugués. — Imaginons, sur une surface, deux familles de courbes telles que, par chaque point A de la surface, il passe une courbe de chaque famille et que les tangentes menées à ces deux courbes, au point A, aient des directions conjuguées. On dit que ces deux familles de courbes forment un rjsca II conjugué. Par exemple, les lignes de courbure forment un réseau conjugué.

311. Théorème des tangentes conjuguées. — Soit une courbe quelconque (C), tracée sur une surface S : considérons le plan tangent P à la surface, en un point quelconque A de cette courbe (C) ; quand le point A décrit la courbe (C), le plan tangent P enveloppe une surface développable, qu'on appelle la déi'cloppable circonscrite à la surface le long de (C) .

Le plan P touche cette développable suivant une génératrice rectiligne AG passant par le point A [fig. 167) : cette génératrice, qui est la caractéristique du plan mobile, est l'intersection du plan tangent à la surface, en A, et du plan tangent au point A' de (G), infiniment voisin de A. On peut alors énoncer le théorème suivant, qui est constamment employé dans la théorie des lignes d'ombre.

Fiç. iG;.

La direction AG de la génératrice de contact est conjuguée de la direction AT de la tangente à la courbe (C).

Pour le démontrer remarquons que, le long de (C), les coordonnées x^y,z d'un point A sont des fonctions d'un paramètre /, qui vérifient identiquement l'équation de la surface donnée

Le plan tangent P, à la surface, au point A [x, //, .3), a pour équation

o\x p eifj sont fonctions de)., par l'intermédiaire de.r et y. L'équation du plan P dépend donc d'un paramètre )v : ce plan enveloppe, quand X varie, c'est-à-dire quand le point A décrit (C), une surface développable (n^ 209). Pour avoir la droite AG, suivant laquelle ce plan touche son enveloppe, c'est-à-dire la caractéristique du plan P, il suffit d'associer à l'équation (P) celle qu'on en déduit en la différentiant par rapport à A.

On a ainsi, puisque a:, y, z, p, q dépendent de \ :

Or, z^p et (j dépendent de )v, par l'intermédiaire de x et ?/; on a donc, comme plus haut (n° 285) :

dz d.v du

dp d:r du

dq d.v du

d). — "" dX ^ Va

L'équation (Q) devient alors, en réduisant et multipliant par <f).,

(R) (X — x) [rd,v + sdy) + (Y — //) {sdx + tdy) = 0,

équation d'un plan passant par le point A (r, y, z). La caractéristique du plan P, définie par les équations (P) et (R), est donc une droite AG, passant par A. Il reste à montrer que cette droite AG est conjuguée de AT.