Règle. — Considérons une intégrale définie
dans laquelle la fonction, soumise à l'intégration, dépend d'un paramètre â, indépendant de .r, les limites a et b étant des quantités indépendantes de A. Cette intégrale définie I est alors une fonction de A et, dans certains cas, on peut avoir à calculer la dérivée de I par rapport à A.
On peut, dans un grand nombre de cas, obtenir cette dérivée par l'application de la règle suivante :
La dérivée de l'intégrale I, par rapport à A, est égale à l'intégrale de la dérivée de f{^r, }.) par rapport à À
dl f 0/-(.r. ).)
pourvu que la nouvelle intégrale, ainsi définie, ait un sens, Kn effet, par hypothèse, on a
I=/'V(.r,).)rf.r.
DIFFÉREyriATIOy sous LE SICSE f
Donnons à ). un accroissement A A ; I prend un accroissenjent Al et les limites ne changent pas, car elles sont supposées indépendantes de X. On a donc
\+\\=^f"t\x,\+ù:K)dx,
d'où
AI = f[f{x, l -+- Aa) -/•(.,■, -/,)] dj:.
Divisant par Aa, on a
AI rY(.r,A + A>.)-/-c,-.).)
Si nous admettons que l'intégrale
a un sens, nous voyons que, Aa tendant vers zéro, l'expression
de -— ^ tend vers / — — ^^ eh- . On a donc , d'après la défini- Aà Ja Oâ ^
tion même de la dérivée,
dl fàf'u;l)
On peut dire que l'on obtient la dérivée de I, par rapport à A, en dérivant par rapport à A sous le signe I .
En appliquant de nouveau la même règle, on a ensuite
cin /-^OY(.r,A)
cr/:'~X ôA^ '
pourvu que cette nouvelle intégrale ait un sens. ¥A ainsi de suite.
313. Exemple I. — Cette règle permet de déduire d'une intégrale connue d'autres intégrales. Ainsi, considérons l'intégrale
cos fjcdjc.
Cette intégrale est aisée à calculer, car l'intégrale indéfinie est -ysinLr ; on a donc :
(2) I = -:^(sinA/>» — sin)va).
Calculons les dérivées successives de l'intégrale (1) , d'après la règle précédente, nous aurons
—^^ = — / x sin A.r ax, --=-r = — / .v cos Lv av. . . .
D'autre part, comme I est connue explicitement par la formule (2), on peut calculer directement ces dérivées. On a ainsi les formules
/'*.-, d / sin Ib — sin '/m \ ( .rs^nl.rd.r = -^[- j j,
/'' , , d- / sin\b — sin)v<7\ .r-cos /a-rf.- = -^ [ ^ j ,
Ces formules peuvent, d'ailleurs^ être aisément A'érifiées, car les intégrales des premiers membres peuvent être obtenues par l'intégration par parties.
314. Exemple II. — On peut, dans certains cas, par l'application de cette règle, déterminer des intégrales définies, qu'il serait difficile de trouver directement. Soit, par exemple, l'intégrale
(3) i=rj!i!iii!if.rf^,
qui a un sens, tant que )s est positif. Pour calculer cette intégrale, remarquons qu'elle est une fonction du paramètre X et calculons
la dérivée —pr- : nous aurons
d^ 'dî
= — 1 e ''^ s'inx dxy car la nouvelle intégrale a un sens. Cette nouvelle intégrale est.
DIFFÉRENTIATIOS SOUS LE SIGSE f 479
au signe près, celle que nous avons calculée au n* 35 et que nous avons designée par A. Nous avons trouvé, dans ce numéro,
On a donc
dJ. 1 + â'
Connaissant la dérivée de I par rapport à A, nous aurons I en prenant les fonctions primitives des deux membres regardés comme fonctions de X,
(4) 1 = — arctang A-f-C,
C désignant une constante indépendante de )..
Il reste à déterminer cette constante. Pour cela, remarquons que l'intégrale I, définie par la relation (3), s'annule quand A auofmente indéfiniment, car le facteur e~"*^ tend vers zéro. La nouvelle expression (4) de cette même intégrale doit également
s'annuler, pour A=x . Comme arc tang.x = — , on doit donc avoir
ce qui donne, définitivement,
I =-75 ai'c tang. A.
L'intégrale I est ainsi calculée, en fonction de \.
Cas particulier. — Faisons tendre X vers 0. Le facteur «-^' tend vers 1, arc tang. 1 tend vers 0, on a donc
sin .r , 7t
Nous avons étudié cette intégrale définie dans le n** 141, pour montrer qu'elle a un sens; mais jusqu'ici nous n'avions pas donné sa valeur numérique.
^8o COURS D'ANALYSE
315. Exemple d'un cas où la règle ne peut pas s'appliquer. — Comme nous l'avons dit, lu règle exige que l'intégrale
df{x,ï
ait un sens. Si cette intég^'ale n'a pas de sens, cela ne veut pas dire que l'intégrale
n'a pas de dérivée, mais seulement que cette dérivée n'est plus fournie par la règle simple que nous avons donnée. Prenons, par exemple, l'intégrale
Z'* sin )wr , J = / dx.
ICn prenant la dérivée par rapport à A sous le signe j , on est conduit à l'intégrale
J/1CC f cos \xdx,
(lui n'a pas de sens, (^est ce qu'on verrait, en construisant la courbe sinusoïdale
jj :=cos)wr,
(jui se compose d'ondes toutes égales entre elles, et en remar- ([uant que l'aire de cette courbe, de 0 à x , n'a pas de valeur déterminée. (Voyez n** 141 pour un lait du même genre.)
On ne peut donc pas, actuellement, calculer la dérivée -yr- parla
l'ègle de la difïerentiation sous le signe j . Mais cela ne veut pas dire que cette dérivée n'existe pas. Nous allons voir, en efFet, que cette dérivée est nulle.
Supposons, pour fixer les idées, \>0, et faisons, dans J, le changement de varialde
les nouvelles limites, pour «, sont encore 0 et -f-x ; d'ailleurs
du
dx
DIFFÈRE ATIATIOX SOUS LE SIGNE f 481
on a donc :
(*^ sin u j J= / an,
eu-pression indépendante de "k. Donc, quand), varie d'une manière continue par valeurs positives, J reste constant et on a
d/s On arrive à un résultat analogue pour A<0. On fera alors
')jc = — // , dj; = ^ .
Quand j; varie de 0 à +00 , n varie aussi de 0 à -|-x et on a
, /'* sin u J J = — / du ,
expression indépendante de L.
Il se présente ici une circonstance curieuse, sur laquelle il est bon d'attirer l'attention. L'intégrale
X" sin X , /** sin u ,
——dx ou/ —;;-du.
est, d'après le numéro précédent, égale à—. L'intégrale
in X.J
J(^* sin kx , ' —dx, 0 "^
dépend de A de telle sorte que :
). ayant une xaleuv positii^e quelconque y J=— ;
). ayant une valeur négati\>e quelconque ^ J= ^
\ ayant une valeur nulle, J = 0.
Ce dernier point est évident, car, pour X=0, tous les éléments de l'intégrale sont nuls.
▲PPELL. Analyse. 3i
316. Diffèrentiation d'une intégrale définie par rapport â un paramètre qui figure sous le signe \ et dans les limites. — Considérons une intégrale définie
\^ff{x,\)dx,
OÙ ). est un paramètre indépendant de x. Nous avons supposé, dans ce qui précède, que les limites a et h étaient indépendantes de À. Supposons maintenant que a et b soient des fonctions de A et proposons-nous de calculer la dérivée de I par rapport à A.
Appelons cp(^,}.) une fonction primitive de f{.r,X) par rapport à Xy c'est-à-dire une fonction telle que
(5) ii£^ =/■(.;.).
Par définition, l'intégrale définie 1 a pour valeur
on voit qu'elle dépend de ). directement et par l'intermédiaire de a et b, qui sont supposés fonctions de A. On a donc, d'après la règle de dérivation des fonctions composées,
(Il 01 da 01 db ^
Calculons successivement ces trois termes. La dérivée partielle de 1, par rapport a <7, — — , est égale a ^-^ , c est-a-dire,
d'après l'identité (5), à — /^(^>^) ; ^^ dérivée partielle de I, par
rapport a b.-^-j-, est — '-i—, — - , c est-a-dire, d après 1 identité (5), * * ôb ob * ^ '
f(by'ï?j ; enfin, la dérivée partielle de I, par rapport à la lettre )., qui figure explicitement dans l'expression (6), -^-y, c'est la dérivée de l'intégrale I, par rapport à A, quand on regarde les limités rt et ^ comme des constantes : cette dérivée, -^:^r- est donnée par la règle de dérivation sous le signe i
INTÉGRATIOy DES DIFFÉRENTIELLES TOTALES f\SS
En {Icfiiiitive, on a lu formule suivante
(Il . da .n ^\ ^^^ . r' ^V(-^'>^'0 /
n. — INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES TOTALES
