Différentielles totales à deux variables. — Soit

u = F{.r,îj),

une ronction de deux variables indépendantes a: et t/ : nous avons appelé difïerentielle totale de u l'expression

an =~^ — ajc -\ — - — a ii .

dj; àf/ -^

du i)u 1 i- • 1

Dans cette expression, -r;^ — et-:- — sont des lonctions connues de

x et // ; ce sont les dérivées partielles de w, par rapport à r et ni/.

Problème inverse. — Inversement, étant donnée une expression de la forme :

(7) f{x, y) dx + 'j> (:r, ij) dy,

on peut se demander s'il existe une fonction u, de a: et /y, admettant cette expression pour différentielle totale, c'est-à-dire s'il existe une fonction u telle que l'on ait identiquement

du =f[x, y) dx 4- ?(.î^, y) dy.

Cette question peut aussi être posée sous une autre forme : comme

du= — — :lx-{ r — dy,

dx dy

la question revient à demander s'il existe une fonction //, de x et y, telle que

dx i^-'-^J' ^y

Lorsque la fonction?/ existe, on dit que l'expression (7) est une (Uffèrentiellc totale exacte. La fonction u est Vifitègrale de cette différentielle totale.

Nous allons montrer que, les fonctions /'et '^ étant quelconques, l'expression (7) n'est pas en général une difïerentielle totale exacte : pour qu'elle en soit une, il faut et il suffit que les fonctions f et cp remplissent une condition donnée par le théorème suivant.

Théorème. — Pour que Vexpression

f{x,y)dx-^'j^{x,y)d,j,

soit une diffèreiitielle totale exacte^ il faut et il suffît que Von ait identiquement

!•* La condition est nécessaire. — En effet, supposons qu'il existe une fonction //, de x et //, telle que

du =f{x, y) dx + ? (.r, y) dy.

ou, ce qui revient au même, telle que

En dérivant la première de ces relations par "rapport à x, la deuxième par rapport à y, on a

^hi (y

i)'u dydx