rO// d

0X0 y oyox

^^) d.r - dy

2° La condition est suffisante. — Soient deux fonctions f{x, y) et cp(^, z^), vérifiant cette condition (8); nous allons montrer qu'il

lyTÉGRATJON DES DIllÉRENTIELLES TOTALES ',85

existe une fonction u, admettant /'(.i',//)<:/.r-|-cp .r, y (hj [)()iii' diflérentielle totale, c'est-à-dire vérifiant les deux relations

,^v ^u du ,

et déterminer cette (onction.

Pour cela, cherchons d'abord la lonction u, de .v et //, la plus générale, vérifiant seulement la première des conditions (9)

Comme, dans la dérivation par rapport à .v, ij est traité comme une constante, la (onction la plus générale //, vérifiant cette dernière condition, est une l'onction primitive de f[^,y)', par rapport à JL', augmentée d'une constante arbitraire indépendante de .v. On a donc

(10) „ = ff',v,;,)dx+g{,j),

OÙ la constante arbitraire indépendante de .r est une fonction quelconque de y que nous désignons par ^'(//}. La limite inférieure x^ de l'intégrale est un nombre quelconque que , dans chaque cas particulier, on choisira de façon h simplifier les calculs. La fonction u, ainsi calculée, est la fonction la plus générale vérifiant la relation

Nous allons maintenant déterminer g{y), de façon que cette fonction u vérifie aussi la relation

Pour calculer la dérivée de la fonction (10) par rapport à //, remarquons que, sous le signe 1 la lettre y figure comme un paramètre indépendant de .v et (jue les limites jc^ et x sont indépendantes de y ; on peut donc applicpier la règle de la dérivation sous le signe j et on a

dy Jj-^ àij ' dy

On doit donc avoir

Remplaçons -^-^ par la quantité identique, par hypothèse, -~. La relation devient

Mais l'intégrale indéfinie de — • ^ dx est '■f{x,y); l'intégrale définie, entre les limites .r^, et .r, est donc

et l'équation h vérifier devient :

ou, en réduisant,

dîj Kn intégrant par rapport à /y, nous aurons g [y] :

où C est une [constante, ne dépendant plus ni de x ni de y, la limite inférieure y^ est un nombre quelconque. Remplaçant g(^y) par cette détermination dans l'expression (10), on a enfin

(11) // = ff{,r, y)dx 4- f'fGro,//) r/// + G.

Dans cette formule, la première intégration est faite, en regar dant y comme constant.

Le problème est ainsi résolu : en supposant remplie la condition

(y (>j ^y Oj' '

IXTÉGIîATIOy DES DI F F K RE S TI E LLE S TOTALES 487

nous xt'iiniis de trouver l'expression générale des fonctions //, ayant pour différentielle totale fd.v-{-':idij ] cette expression contient une constante arbitraire C

318. FlxEMPLEs. — 1° Prenons d'abord un exemple tout à fait élémentaire en considérant l'expression

y(lv-{-X(lij.

Actuellement,

On a donc -r^= 1, -^ = 1, et la condition d'intégrabilité,

df d-p

est remplie. L'expression proposée est une différentielle exacte et son intégrale u est donnée par la formule

11= j ydx -\- j x^dy-[-C.

Effectuons les intégrations, nous avons

• u ^x]i — oc^y-\-x^y — .r, ?/« 4- G

ou, après réductions,

K désignant une constante. La vérification est immédiate : on a évidemment

du = ydx -\- xdy*

Dans ces calculs, le choix de x^ et y^ est arbitraire. On pourrait, par exemple, faire x=^^, y^'=^- Alors la formule donne

11= i ydx -}- C =zxy-\-C

2** Considérons l'expression

(2x' + 2xy + ,f)dx-{-[x'+2x,j-\-2,f)d,j.

Cette expression est une différentielle totale exacte , car la dérivée du coefficient de d:v, par rapport à ?/,

est égale à la dérivée du coefficient de dy, par rapport à œ. L'intégrale de cette différentielle totale est alors

= r (2 x^ + 2 xy + tf) dx 4- r (.r„^ + 2 x,,j ^■irf)d,j+C

La première intégrale, dans laquelle y est traité comme une constante, est

__ ^ jchj 4- ^2/- ^ xly — :ro?/- ;

la deuxième est

Remplaçant et simplifiant, on a

u =— h oc- y + y-x + //"^ + K,

où K est une constante. On vérifiera, sans peine, que l'expression proposée est égale à du.

ni. — INTÉGRATION LE LONG D'UNE COURBE PLANE

319. Définition. — Soit, dans un plan .rO//, une courbe C [fig. 168) ; prenons, sur cette courbe, deux points M^ et M, de coordonnées .r^,, y^ et .r, y. Considérons, d'autre part, une expression de la forme

f{x,y)dx-ir'i['r,y)dy,

où /"et cp sont deux fonctions données de x et y. Nous allons définir ce qu'il faut entendre par intégrale de f[jc,y) dx-\-'f(x,y)dy prise le long de la courbe C c?e M^, en ^L

Divisons Tare M^M en n parties par des points intermédiaires