INTEGRATION LE LONG D'UNE COURBE PLANE

MpM^, . . . , ^I„,. a\ aiil pourcordonnées respectives (-t*|,y,) , (•^'2'^>)- • • ■> (•**«-! >i//i-i)> 6t considérons la somme ;

/"(•^o, yo) {'l\ — -ro) + 'f (./'o, //o) (//,-- //o)

Si l'on fait croître w indéfiniment, de telle façon que toutes les

Fig. iC8.

distances M^,MpM^^I.,,..., M„iM tendent vers zéro, cette somme tend vers une limite qui est, par définition, V intégrale de

prise, de M^, en M, le long de la courbe C. On désigne cette intégrale par la notation

(1) / f[^^y)^^^-^'^\^yy)(^u-

»/(^Mo) le long de C

320. Expression par une intégrale simple ordinaire. — 11 est facile de ramener le calcul d'une intégrale de ce genre à celui d'une intégrale simple ordinaire. Les coordonnées d'un point quelconque de la courbe C peuvent s'exprimer, en fonction d'un paramètre t

(2) x==).(/;, y=ixW,

de telle façon que, t variant d'une manière continue de /,, à /,, le point (.r,y) décrive l'arc M,,M, de M,, en M. En faisant, dans Tinté-

grale (1), le changement de variable défini par les formules (2),

on a

dx = )/ (/) dt , dij =: ik' {t) dt,

et l'intégrale devient

on est donc ramené h une intégrale simple ordinaire.

321 . Quelques exemples d'intégrales prises le long d'une courbe plane. — Nous avons déjà rencontré plusieurs exemples d'intégrales de la nature de celles que nous venons de définir.

Ainsi, l'aire d'un segment de courbe limité par un arc de courbe M^M^, par l'axe Or et par les deux ordonnées extrêmes est égale à l'intégrale

Jj/dj;,

prise le long de l'arc Mj,M^. En particulier, l'aire d'une courbe fermée (N^ 38) est donnée par l'intégrale

Jijdx, prise le long de la courbe. Dans cet exemple on a

L'aire d'un secteur de courbe, limité par un arc M,,M et deux rayons vecteurs OM,, et OM (N** 40), est donnée par l'intégrale

Yj[xdij — ydx),

prise le long de l'arc Mj,M,'et, en particulier, l'aire d'une courbe fermée est donnée par cette même intégrale prise le long de la courbe fermée (N** 42) . Dans ce deuxième exemple ;

Enfin, en cherchant le volume d'un solide de révolution autour de Ozy nous avons trouvé que ce volume était donné par l'intégrale

JSTEGRATIOS LE LOSG D'CM: COURBE PLANE

prise le long de l'arc de méridienne (X" 50, fig, 35), dans le plan des .vz.

C'est encore là une intégrale, prise le long d'une courbe plane, dans le plan des zx, z jouant le rôle de y.