Condition pour qu'une intégrale

dépende seulement du point de départ M,^ et du point d'arrivée M, et non du chemin suivi. — Kn général, une intégrale

prise de M^ en M, le long d'une courbe C, change de valeur quand, laissant fixes les points de départ et d'arrivée, on fait varier la courbe C, c'est-à-dire le chemin d'intégration. Ainsi l'intégrale

/ (^:cdij — ydx),

prise le long d'une courbe C représente l'aire du secteur OM^ CM (fig. 169). Si on prend la même intégrale, le long d'une autre courbe C , joignant les deux points, elle prend une autre valeur, égale à l'aire du secteur OM„C'M.

Mais il peut arriver qu'une intégrale telle que (3) dépende seulement du point de départ M^ et du point d'arrivée M, sans dépendre du chemin suivi C. Prenons, par exemple, l'intégrale

Fig. 169.

prise le long d'une courbe C joignant

les deux points M„ et M. Comme la quantité sous le signe d'intégration est la différentielle totale de r//, on peut écrire cette intégrale

di^ry).

C ouït S D'ANALYSE

L'intégrale indéfinie est donc .ry et l'intégrale définie, différence des valeurs que prend :rij aux deux points M et M^, est

On voit que cette intégrale ne dépend que des coordonnées des points M„ et M, et non du choix de la courbe C : elle conserve la même valeur, quand on change la forme de C entre les deux points.

Nous allons généraliser ce fait en démontrant la proposition suivante :

Théorème. — Pour quune intégrale

prisCy de^l^ en M, le long d'une courbe C, dépende uniquement du point de départ M,, et du point d'arrivée M, et non du clieniin suiçi^ il faut et il suffit que l'expression

f{x,ij)d.i'-^o{.r,i/)dij, soit une différentielle totale exacte ; c'est-à-dire que l'on ait

y Oy ô// dx

1* La condition est nécessaire. — Considérons l'intégrale 1=/ f(x,i/)dx-\-'^{x,i/)di/,

prise le long d'une courbe C, joignant les deux points M^ et M, de coordonnées x,i/ et x^^,^/^^. Supposons que cette intégrale ne dépende pas du choix de la courbe C, mais seulement du point de départ M„ et du point d'arrivée M. Alors cette intégrale est une fonction de x^UyX^yy^ : en effet, la valeur de l'intégrale est déterminée, dès qu'un connaît les coordonnées .r,// et .r„, //^ des deux points M et M,,. On peut donc écrire

IMÉGHATIOy Li: LO.\('. DV y E COURBE PLASE

>Lm'

Laissons fixe le point M^, et cl('|)l:i((>iis infiniment peu le point M (fîg. 170) en lui Taisant subir un déplacement ;n hltraire MM', de projections dx et <^///. Alors, le premier membre de l'équation (4) croît de la ([uantité

ip) fv'^y y) ^^•^' H- ? (-^^ y) <y y

car l'intégrale prise de M^ en M' se

compose de l'intégrale prise de

Mj, en M, plus l'élément d'intégrale provenant du déplacement MM', élément qui est précisément l'expression (5). En même temps, le deuxième membre ^{^y y, ^i\,U^^] croit de sa différentielle

OF OF

dx-\ ;^ — dij.

Fig. 170.

Ces deux accroissements sont égaux : on a donc, identiquement, quels que soient dx et dij^

f{x, ij) dx + '^ (.r , y) dfj = -i— ,/^ 4- ^iiy^

ce qui montre <\\\q fdx -\-'^dy esX, une différentielle totale exacte d'une certaine fonction F de xeiî/.

2^ La condition est suffisante. — En effet, supposons que fdx-\-'fdt/ soit une différentielle exacte, c'est-à-dire que

-r- = -T-^. On a alors 01/ ox

f{x, tj) dx 4- 'f (.r, y) dy = d\} [x, y) ,

\]{xyy) désignant une certaine fonction de x et y. L'intégrale I est, dans ce cas, ^

/ f{x.y)dx^'^{x.y)dy= d\].

L'intégrale indéfinie est U, ou, en mettant les coordonnées en évidence U [x^y) et l'intégrale définie, différence des valeurs de U, aux deux points ^I et M^,

L'intégrale a donc alors une valeur indépendante du chemin et dépendant seulement du choix des points M^ et M. Le théorème est démontré.

323. Exemple tiré de la théorie mécanique de la chaleur. — Considérons un corps déterminé, par exemple une masse d'air, ou d'eau, ou de ler... La densité de ce corps dépend de sa température t et de sa pression p ; par suite, le volume f^ occupé par l'unité de masse du corps (quantité qu'on appelle i>oliime spécifique) dépend aussi de ces deux quantités.

Il existe donc, pour chaque sorte de corps, une relation déterminée QwXvQ pyVyt :

qui est la relation fondamentale du corps.

Par exemple, pour les gaz parfaits obéissant aux lois de Mariotte et de Gay-Lussac, la relation fondamentale est

pç ^ p,^, 1 + ai 1 + OLt^ '

a désignant le coefficient de dilatation des gaz,

Nous pouvons toujours imaginer qu'on ait résolu l'équation fondamentale d'un corps (6) par rapport à /, de façon h la mettre sous la forme :

D'après cela, l'état d'un corps déterminé dépend de deux variables indépendantes, h\ pression p et le volume spécifique j' ; t est une fonction déterminée àe p et f*.

On peut alors représenter graphiquement l'état du corps par un point M d'un plan, ayant pour coordonnées [fg, 171)

0A= ^y AM = p,