INTÉGRATION LE LONG D'UNE COURBE PLANE

p;n- rapport h deux axes rectangulaires 0^> et Op. A chaque état

du corps, répond un point M dans le plan, et, inversement, h

chaque point M, répond un état du corps. Ce point M est le point

rcprcscnldlif àe, l'état du corps. Quand le corps change d'état,

sa pression et son volume spécifique

varient d'une manière continue, le point

représentatif M se déplace dans le plan,

en décrivant une certaine courbe M^jM.

Supposons que le corps soit dans un

certain état, représenté par un point M,

de coordonnées v Qi p ; proposons-nous ~"

A rt

d'amener le corps, de cet état, à un Fig. 171.

état infiniment voisin, représenté par un

point M', de cordonnées {> -\- d^f etp-\-dp. 11 faut, pour cela, lui

communiquer une certaine quantité de chaleur infiniment petite

oQ dont l'expression est de la forme :

oÇl=uh-{-Up,

où les coefficients A et k sont des fonctions de ^ et p déterminées pour chaque corps

Nous ne nous occuperons pas ici de la signification physique de ces coefficients, mais voici maintenant le point capital dans la théorie de la chaleur, où se rencontre une application de la théorie précédente. Considérons deux états déterminés du corps représentés par les points M^ et M de coordonnées ç^^p^et i^yp. Supposons qu'on veuille faire passer le corps de l'état M^ à l'état M, par une suite d'états intermédiaires représentés, successivement, par les divers points d'une courbe continue C, joignant les points M^ et M (fig. 171). Cherchons la quantité totale de chaleur Q (positive ou négative), qu'il faut communiquer au corps pour réaliser cette transformation.

Pour cela, divisons l'arc Mj,M par des points MjjMg,..., M„,, infiniment rapprochés et en nombre infiniment grand. La quantité de chaleur cherchée Q est la somme des quantités de chaleur infiniment petites qu'il faut communiquer au corps pour l'amener

successivement de l'état M„ à l'état Mj, puis de l'état M^ à l'état M^,... et ainsi de suite jusqu'en M. On a donc :

Jcsu

'(Mo)

l'intégration étant faite le long de la courbe C. (Actuellement, if et p jouent le rôle de :r et ij dans la théorie analytique précédente.)

On croyait, au siècle dernier, que cette quantité de chaleur Q dépend uniquement de l'état initial M^ et de l'état final M, et non de la suite C des états intermédiaires : cela revenait à admettre que la quantité sous le signe d'intégration est une différentielle exacte. Mais on a reconnu que cette manière de voir était inexacte. L'expression

l(h-{-kdp,

n'est pas une différentielle totale exacte ; la dérivée partielle

~r — n est pas égale a - — . Des lors, la quantité Q ne dépend pas

seulement des états initial et final Mj, et M, mais de la suite des états intermédiaires. La quantité de chaleur, nécessaire pour faire passer un corps d'un état à un autre, n'est pas déterminée par la seule connaissance de ces deux états ; elle ne l'est <[ue si on donne la suite des états intermédiaires, c'est-à-dire la courbe C. Il se passe, pour cette quantité de chaleur, quelque chose d'analogue à ce qui se passe pour l'aire d'un secteur M^OM {fig. 169) : cette aire n'est pas déterminée, quand on connaît seulement le point de départ M^ et le point d'arrivée M de l'arc M,,M : elle ne l'est que si on donne l'arc de courbe C joignant les deux points, et elle change avec le choix de cette courbe.

La théorie mécanique de la chaleur va maintenant nous fournir un exemple de différentielle totale exacte. On appelle température absolue d'un corps, à t degrés centigrades, la quantité

T = iH = / + 273.

Cette quantité est, pour un corps donné, une fonction déter-