DIFFÉRENTIELLES TOTALES A TROIS VARIABLES

minée de v et p, car 1 est une fonction connue de \> et p. Ceci posé, on démontre en physique que l'expression :

est une différentielle totale exacte, c'est-à-dire que l'on a

àp ô ('

On peut alors poser

-Ydi>-{--^dp^=d^[i>,p),

S étant une certaine fonction de r et/?. Cette fonction S s'appelle Ventropie du corps. Si ion considère l'intégrale

/ -Y^^-^-rrrdp,

prise, de M^ en M, le long d'une courbe quelconque, cette intégrale est égale à

«/{Mol

Elle est donc indépendante des transformations subies par le corps, pour passer du premier état au deuxième.

IV. DIFFÉRENTIELLES TOTALES A TROIS VARIABLES INDÉPENDANTES. INTÉGRALES PRISES LE LONG DUNE COURES DANS L ESPACE

324. Conditions pour qu'une expression différentielle à trois variables indépendantes soit une différentielle totale exacte. — Il est aisé d'étendre, h des expressions dilTérentielles à trois variables, la théorie du paragraphe* précédent, relative à des expressions à deux variables.

Considérons une expresssion de la forme

(1) /-(.r , //, z) dx -h 'f {.r, y, z) dij -h 6 (.r, //, .-:) dz,

APPELL. Analyse. 3-2

OÙ f[Xyy,z), 'f{x,i/yz) et '^{a-,!/,') sont des fonctions données de x^yyZ, On peut se demander sous quelles conditions cette expression est la différentielle totale d'une fonction \][ûc,y,z)y c'est-à-dire peut être identifiée avec l'expression

9U , du , ou .

(2) , dl}= — d, + —dy+—d..

La réponse à cette question est donnée par le théorème suivant :

Théorème. — Pour que l'expression (1) soit une différentielle totale, il faut et il suffit que les fonctions f a, <]; vérifient les trois identités :

^ ^ dy dj? ' de dy ' O.r 03

1** Ces conditions sont nécessaires. — En effet, si l'expression (1) peut être identifiée avec une différentielle totale telle que (2), on a, identiquement,

On vérifie alors, immédiatement, que ~- est égal à -^, car ces

deux expressions sont égales à - — — ; on vérifie, de même, les deux

" oxdy

autres conditions.

2** Les conditions (3) sont suffisantes. — Nous allons montrer que, si ces conditions sont satisfaites, il existe une fonction U, de oc,yyZy vérifiant les trois relations (4), et déterminer cette fonction.

Pour cela, regardons d'abord 3 comme constant et commençons par chercher la fonction la plus générale

v érifiant seulement les deuxpremières relations (4)