DIFIÉHESTIELLES TOTALES A TROIS VARIABLES

Comme z est, provisoirement, regardé comme constant, U est une fonction des deux variables indépendantes jc et y -, d'après la tlK'orie du paragraphe précédent, il existe une fonction U de r et // vérifiant les relations (5), car on a

ô/* dp

et cette fonction est donnée par la formule

(6) U= f /-(.r, y, .) d.c + f-f U„, y, ^) dy + C,,),

C(-) étant une constante par rapport à x et y. On pourra donc prendre, pour C(.), une fonction quelconque de c : quelle que soit cette fonction, la fonction U, de.r,?^,-, définie par (6), vérifie les deux premières relations (4). Il reste maintenant à déterminer C, en fonction de r, de telle façon que l'on ait

OU ôU

En calculant— — par la règle de difFérentiation sous le signe | ,

et tenant compte de ce que C est fonction de z, nous aurons h vérifier l'équation

Mais, d'après les conditions (3) supposées remplies identiquement, on a :

Or ~" Or

J ^i "^ — / ^ "^ — V v*^> yj */ iv^fiyUt-, »

de même,

/ ' ^ l: ^y = / — "-St — - ^y='^ v*^o, y, ^) — ^^ Grc^o, :^).

Eu remplaçant les intégrales par ces valeurs et réduisant, on voit que la relation (7) devient

(l ou

K étant une constante indépendante de .v,i/,z.

Finalement la fonction U, admettant pour différentielle totale l'expression (1), est donnée par la formule

t/xo «/î/o t'^o

325. Intégrale prise le long d'une courbe dans Vespace. — Imaginons, dans l'espace, une courbe C (^g. 172i, joignant deux

Mh

Fig. i7«.

points M„ et M, de coordonnées 'l\,y^^'~\^ et i ,y,z\ on peut définir, comme dans le plan, l'intégrale

prise le long de C,de M^enM. Pour cela,onprend, sur la courbe C, des points intermédiaires M^,^I^,..., ^I„ , infiniment rapprochés et en nombre infiniment grand. L'intégrale est, par définition, la limite de la somme

-hf{^n,yn,'^-n)('r—^r„)-\-'f{.r„,y,„z„) {y— y,,) -+-i^(.r„.//..' "«X'— '«),

/ A' 7 / < i n \ I r / / ■ I osr. /> • c y h: coi n n i: u i: i. ' i: s r \ c /; \o i

où n augmente iiitlfliniiiieiit , toutes les ilillerenees r, — .r„, X, — .rp..., //, — //o, .y, — //p..-, 'i— 'o» 'i — 3,,... tendant vns z/to. L'intcgiale I, ainsi définie, peut facilenimi chr ijnncmM' ;i une intégrale simple ordinaire. En effet, le long de la coujIx' (1, on peut exprimer les coordonnées JC^y^z d'un point, en fonetioii d un paramMi'c /

(|ui varie de t^ à /,, quand le point (.r,//,r.) décrit la courbe, de M^ en M. On a alors, d'après la règle du changement de variable dans une intégrale.

Jtù

dt,

où nous écrivons poiiiahiéger A, tjt.,v,)/,|JL', v'iui lieu de ).(/), jji / ,/ / , et des dérivées a'/i, jjl /),v'(/).

326. Conditions pour qu'une intégrale, prise le long d'une courbe dans l'espace, ne dépende que des points de départ et d'arrivée et non du chemin suivi.

(Considérons l'intégrale

I = y f{.v, y, z] (Lv -h z> [.V, y, z) dy + >!> .v,y, z)dz,

prise, de M^, en M, le long d'une courbe C. En général, les deux points M^ et ^I étant donnés, la valeur de l'intégrale change avec la courbe C, le long de laquelle on intègre. Pour que l'intégrale I soit indépendante de la courbe C et dépende uniquement des points de départ et d'arrivée, il faut et il suffit que la f[uantité sous le signe j soit une dift'érentielle totale exacte, c'est-à-dire que l'on ait

dy djc ' dz dy ' tXr 03

La démonstration de cette proposition est identique à celle que nous avons donnée (N**322j, pour le cas des intégrales prises le long: d'une courbe plane.

327. Exemple tiré de la mécanique. Travail. — Considérons un point matériel M de coordonnées .r,//,-, sollicité par une force

5oi COURS D'ANALYSE

F avant pour projections X,Y,Z. Si le point M subit un déplacement infiniment petit MM^ de projections d.Vy dy^ dzy on sait que le travail élémentaire correspondant de la force F est donné par l'expression

(10) Xd:r-i-Ydi/-{-7Jz.

Supposons que la force dépende seulement de la position du point; dans ce cas X,Y,Z sont des fonctions de .v,j/,z.

le travail élémentaire est alors une expression différentielle comme celles que nous venons d'étudier.

Imaginons que le point matériel passe d'une position M^ h une position M, en suivant une courbe C (fig. 172) : on définit alors le travail total ^ delà forceF, correspondant à ce déplacement, de la façon suivante : on divise l'arc M^^I en une infinité de parties infiniment petitespar des points intermédiaires M^M.,,..., M„ et on dit que le travail total ^ est la somme des travaux élémentaires de la force, pour les déplacements successifs M^,Mj,MjM^....,^I„M. On a ainsi

^= / \dx^\dij-^Zdz,

l'intégrale étant prise le long de la courbe C.

En général, ce travail total ^O dépend, non seulement du point de départ M^, et du point d'arrivée M, mais aussi du chemin C suivi par le mobile. Pour que 'O soit indépendant du chemin suivi, il faut et il suffit que l'expression Hdd'-\-Xdij-\-Tjdz soit une différentielle totale exacte, c'est-à-dire qu'il existe une fonction U(.r,?/,:;), telle que

Xdjc-\-Ydy -h 7ÂZ = d\J{j', //, 3),

ou, encore,

Quand cette fonction U existe, on l'appelle /b/ir//o/« des forces^ et on dit que les forces dcrwent d'une fonction des forces. Dans

INTÉGRALE LE LONG D'UNE COURBE DE L'ESPACE 'u,',

ce cas particulier, le travail total est donné par la formule

^Mo)

Ainsi, prenons un point M attiré par un centre fixe 0, pris comme origine, en raison inverse du carré de la distance [fig, 173).

Si on appelle r la distance OM, la force F a pour intensité

k désignant une constante. Les projections de cette force sur les axes sont

AT k X k y k z

je 11 M

car les cosinus directeurs de OM sont — > — > — .Actuellement,

le travail élémentaire a pour expression

ILdx + Xdy ^7Az= — ^(xdx -f- ydij -f- zdz).

Mais, comme on a

on en déduit, en différenciant,

xdx -f- ydy -\-zdz = rdr

d'où

Xdx-\-Ydy-^Zdz = — -^dr=d(-^\

Cette expression est donc la différentielle exacte de la fonction

^^04 COURS D'A y A LY SE

Il serait d'ailleurs facile de vérifier que les projections X,Y,Z de la force sont égales aux dérivées partielles de cette fonction U, par rapport à x^y^z respectivement.

Quand, dans cet exemple, le point matériel passe d'une position Mj, à une autre M, le travail total de la force attractive F est

/' et i\ désignant les distances OM et OM^. Ce travail est indépendant du chemin suivi d'un point à l'autre.