I. - INTÉGRALES DOUBLES

328. Définition. Evaluation d'un volume. — Nous somines arrivés à la notion d'intégrale simple, en évaluant l'aire d'un segment de courbe plane et en démontrant que cette aire est la limite de la somme des rectangles infiniment petits inscrits. Nous avons vu d'ailleurs que, réciproquement, toute intégrale simple peut être graphiquement représentée par l'aire d'un segment de courbe plane.

Nous arriverons, de même, à la notion d'intégrale double, en cherchant à évaluer un volume défini comme il suit : considérons, dans le plan des :vi/, une courbe fermée C, servant de directrice à une surface cylindrique, dont les génératrices sont parallèles à Ozy et proposons-nous de calculer le volume Y limité, latéralement, par cette surface cylindrique, inférieurement, par le plan (les .11/ et, supérieurement, par une portion de surface courbe continue S ayant pour équation

Nous supposerons d'abord que cette portion de surface S est tout entière au-dessus du plan des .ri/.

Divisons l'aire de la base C en un nombre très grand d'éléments superficiels très petits Aw (fig. 174). Pour effectuer cette division, il suffira d'imaginer qu'on ait tracé sur la base C deux systèmes de courbes telles que les courbes d'un même système soient très rapprochées et soient coupées par les courbes de

l'autre : on obtient ainsi une sorte de quadrillage divisant l'aire L en éléments Aw. Soient

Awp Aw^,..., Aw,,,

les éléments superficiels de l'aire C, obtenus de cette façon. Construisons ensuite des surfaces cylindriques verticales ayant, respectivement, pour bases, les éléments superficiels Ao3^,Ao>^, ... et considérons les volumes (^^, f^^,..., (>„ limités, latéralement, par ces surfaces cylindriques, inférieurement, par les éléments plans

Kig. .74.

Awp Aw^, ..., Aw,j et, supérieurement, par la surface courbe donnée S. Il est évident que le volume cherché V est la somme des diverses parties de même nature r^jf^^,..., ('„, dans lesquelles on l'a ainsi divisé :

On peut écrire aussi :

V = lim(f>, + ^, + ...+^'J,

car la somme du deuxième membre est constante, quel que soit n et égale à V. Cela posé, nous allons remplacer chacun des volumes élémentaires f^,,(^j,..., r„ par un cylindre élémentaire inscrit de la façon suivante [fig. 175). Le volume f^, est limité inférieurement, par l'élément Aw, et supérieurement, par la portion