V IK G II A LE S DOUBLEE

ABDK de la surface S qui se projette sur Aoj^ ; appelons Z, et 3,, la plus grande et la plus petite valeur que prend l'ordonnée z aux divers points de la portion ABDE de surface S; sur la figure 175, Zj serait l'ordonnée du point D et z^ celle du point A. Menons, par les points 1) et A, d'ordonnées Z, et 3,, des plans horizontaux DIVA^B^et AB'^D'Ty' : nous formons ainsi, deux cylindres ayant pour base commune Awp et, pour hauteurs : l'un Z, ; l'autre, z^\ le premier de ces cylindres a un volume Z^Aw^ supérieur à s\y on peut l'appeler cylindre circonscrit ; le deuxième a un volume ^jAw^ inférieur à f'p on peut l'appeler cylindre inscrit. De même, nous comprendrons le volume r^ entre deux cylindres de base Aw^, l'un circonscrit, ayant pour hauteur Zj. l'autre inscrit, ayant pour hauteur z.y\ et ainsi de suite.

Nous allons démontrer que le volume Y est la limite de la somme des cylindres inscrits quand le nombre des divisions Aw^, Aw^,..., Aw,,, de la base, augmente indéfiniment, chacune de ces aires élémentîiires se réduisant à un point,

(2) Y = lim (3, Ao», + ,-,Aco, + . . . + .-„ A(o,.) .

En effet, les sommes

z^\u)^ -f- -^Aw, + . . . H- -,. Aa>„

sont composées d'un même nombre de termes, tous de même signe ; pour démontrer qu'elles ont même limite, il suffit de démontrer que le rapport d'un terme d'une des sommes au terme correspondant de l'autre tend vers 1, quand n augmente indéfiniment, dans les conditions indiquées. Or on a

Fig. i:5.

</,,Ao.,;

où.

div

isant

par

-,Aoj„ 1< -

jAtOj

COL HS 1) A.\ A L) si:

(^uand 1 élément Ato^ se lédiiit à mi point P^ roiclonnée niaxiniuni Zj de la surface S dans Aw^, et l'oidonnée minimum -^ tendent, l'une et l'autre, vers l'ordonnée du point P^,P^Mj, et le rapport

— i- tend vers 1. Le rapport — -^ — , compris entre 1 et un rapport

z, ",Aoj,

tendant vers 1, tend lui-même vers 1. On ferait la même démons-

tration pour les rapports — ,..., — ^ — . On peut donc

écrire

V = lim(-,Aojj4- -,Aoi,+ ...+ r„A(.i,;,

ce qui démontre bien que le volume est la limite vers laquelle tend la somme des cylindres inscrits. On voit (pie nous sommes ainsi arrivés, par une voie analogue à celle que nous avons suivie pour évaluer l'aire d'un segment de courbe plane (N** 5), à un théorème analogue à celui qui consiste à dire que l'aire d'un segment est la limite de la somme des rectangles inscrits.

Xolalion. Pour exprimer que V est la limite de la somme r, Ao), + -,Ao), + . . . 4- r,,Ato,„ on écrit :

en mettant deux signes 1 . On répète deux fois le signe d'intégra tion, parce que, comme nous lèverions plus loin, quand on veut calculer numériquement un volume par cette méthode, on est conduit à calculer, successivement, deux intégrales simples. On appelle l'expression

iS-

une intégrale double q\^ pour exprimer <[u'il faut faire la somme des produits zdiû correspondant à tous les élémenfs superficiels de l'aire de la courbe (], on dit (jue rinl('gr<ilc doit /de csf èlcndiic à l'aire de la eoiirhc (].

Remakque. — On démontrerait, de même, que le volume V est la limite de la somme des cylindres circonscrits Z^A<.),, Z^Aw^,... On en conclut qu'il est aussi la limite de la somme des cylindres ayant pour bases Af)j, At),,..., A<.)„ et, pour hauteurs respectives, le

premier, «mr oKlnnnt'c (ni<'l(<>n(|iu' do l;i suilace S, uvaiil son pied dans A<^. !•• (Iiuxirnic. uii(> ordoimt-r ([urlconque dr l;i sui-rjicc S.

ayant son pied dans Aw^ clc... Vax efl'et, la nouvelle sonimr. niiisi

formée, est oompiise évidemment entre les deux sommes :

r.jAcOj + z^\u).,^ ... + -„A(o„,

/, A(.>, + Z^Ao,^ -+-...+ '4Ato,,

(jui tendent, Tune et l'autre, vers V. Elle tend donc aussi vers V. Toutes ces piopositions sont résumées par réquation uni([ue

([iii exprime (|ue, pour avoir le volume, il faut multiplier clia([ue «dément de hase infiniment petit do) par l'ordonnée correspondante - de la surface, et faire la somme des produits ainsi obtenus.

329. Positions diverses de la surface S. — Nous avons supposé S, au-dessus du plan rOy, dans l'étendue considérée. Si S était tout entière au-dessous, tous les c seraient négatifs, et comme les éléments superficiels ch>) sont essentiellement positifs, la somme

zdb) .

représenterait le volume changé de signe.

Si la surface S était partiellement au-dessus, partiellement audessous du plan :rO//, la somme

iho

représenterait la différence entre les deux volumes correspondant aux portions de la surface, situées au-dessus du plan des r//, et aux portions de cette surface, situées au-dessous de ce plan.

Ces considérations sont entièrement analogues à celles que nous avons développées, quand nous avons défini la valeur algébrique de l'aire d'un segment de courbe plane (X** 7).

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