II. — CALCUL D'UNE INTÉGRALE DOUBLE EN COORDONNÉES RECTANGULAIRES

^'^Q. Méthode générale, — Pour évaluer le volume V limité par la surface

et la surface cylindrique de base (], nous avons été conduits à l'intégrale double

étendue à l'aire C. Quand on emploie des coordonnées rectangulaires dans le plan des r?/, on divise l'aire C en rectangles infi-

niment petits par des parallèles aux axes de coordonnées, comme le montre la figure 176.

Si on appelle \x et \y les dimensions d'un de ces rectangles parallèles aux axes Ox et 0//, l'aire Aw de ce rectangle est

A(o = A.r Ay ;

le volume V, qui est, en général, la limite de la somme des produits vAw, est alors la limite de la somme des produits zljcly. On écrit dans ce cas

CALCUL D'USE INTÉGRALE DOUBLE 5ii

OU, en remplaçant r par sa valeur,

tirée de Téquation de la surface S,

l'intégration étant étendue à l'aire de C.

Voici comment on conduira le calcul pour évaluer cette double somme. Le problème est de calculer la somme des volumes des cylindres zdxdy, en prenant successivement pour base, é/j^t/y, de ces cylindres, tous les rectangles infiniment petits, dans lesquels on a

divisé la base C. Commençons [fig. ill) par évaluer la somme T de ceux de ces cylindres, qui ont pour bases les éléments superficiels djcdy, compris entre les deux parallèles PA et PjA^, à l'axe Ox, ces parallèles étant supposées infiniment rapprochées et situées à une distance dy l'une de l'autre,

OP=y, OP. =y + </</.

La somme T de ces cylindres forme une tranche du volume V, comprise entre les deux plans verticaux, ayant pour traces PA et PjAj. L'un quelconque des cylindres de cette tranche a pour volume zdjcdy, ou

f[x,y)dxdy.

Ui COURS D'AyALYSK

y et dij sont les mêmes, pour tous ces cylindres ; on peut donc, dans leur somme, mettre dy en facteur et regarder // comme constant ; ce qui donne, pour le volume de la tranche T,

T = dy. somme des prodiiils f{a-^y)dj\

(lette somme est une intégrale simple prise par rapport à r, donc

^ = ^yff\'^',y)^^^''

11 reste à voir entre quelles limites doit être prise cette intégrale simple par rapport à.r. La droite AP, située à une distance 0P=//, entre dans l'aire G par un jDoint M^, d'abscisse jc^, et en soit par un point M^, d'abscisse r^ : ces deux abscisses sont connues, en fonction de y, puisque la courbe G est donnée. Pour obtenir tous les cylindres contenus dans la tranche T, il faut faire la somme des produits f {jo ,y) dy dx , en laissant dy et // constants et faisant varier r de x^ à .r., : on a donc

Ainsi, la tranche T s'ol)tient par une quadrature. Gette quadrature étant supposée faite, l'intégrale simple

f f\:r,tj)dx,

est une fonction connue de //, car y figure sous le signe j et les limites r^ et .r^ soni loncti(nis de y. On peut donc poser, pour abréger.

La tranche considérée T, comprise entre les plans verticaux ayant pour traces PA et PjA^, est donc

T=^[y)dy.

i*our avoir le volume total, il reste maintenant à faire la somme de ces tranches : cette somme est une intégrale simple

Voyons entre quelles limites elle doit être prise. Pour obtenir

( A/.( i/ D'I m: I.\ I HGIiALE DOlJSL/-: 5i3

loiih's les tranches T, il faut donner, successivement, à la droite PA, toutes les positions possibles traversant l'aire C. Si donc, nous menons les deux tangentes à la courbe C parallèles à O.r, soient P^A^, et P^A', et si nous appelons i/^ et //' les ordonnées de ces droites

ôp7=y„, ôF'=y,

il faut faire varier OP = y entre ces deux limites. On a donc, finalement, pour V, somme de toutes les tranches T,

où •!/(//) a la signification suivante :

On peut écrire aussi la formule finale

formule qu'il faut comprendre comme il suit : on calcule d'abord I /'(.r,yKAr; cette intégrale est une fonction de ij ; on multiplie cette fonction de i/ par dj/ et on intègre de //„ à t/'.

Quand on évalue ainsi le volume, en rangeant les cylindres élémentaires zdxdij, par files parallèles au plan des xz^ on dit qu'on intègre d'abord par rapport à .r, parce que la première intégrale à calculer

f[x, y dx,

est une intégrale par rapport à .r. La deuxième intégration se fait par rapport à //.

Il est évident qu'on pourrait opérer dans un ordre inverse, en intégrant d'al>ord par rapport à y, c'est-à-dire en calculant d'abord une tranche du solide comprise entre deux plans parallèles au plan yOzj d'abscisses j; et r-f-^.r, puis en faisant la somme de ces tranches.

APPELL. Analyse. 33

5i.i COURS D'ANALYSE