Propriétés des intégrales définies

Théorème I. La s'aleiir d'une i/itéi>rale définie ne dépend pas </(' 1(1 vmiahle d'intégration, mais seulement des limites. — Vax elfct, dans le second membre de la formule

ne figure plus la variable x.

Théorème II. Ufie intégrale définie change de signe quand on i/f/ervcrtit les limites. — En effet, on a, en intervertissant a et />,

expression qui est de signe contraire à la précédente.

On peut aussi se rendre compte de ce fait d'une autre manière en se reportant à la définition même de l'intégrale ; en effet, en supposant, pour fixer les idées, a<h, dans la somme

VWrf.r,

les ordonnées /*(.r) sont multipliées par des accroissements infiniment petits </.rqui sont positifs, car x croît de a à h, et, dans la somme

v)dx,

APPEi.L. Analyse.

les mêmes ordonnées f[.r) sont multipliées par des accroissements infiniment petits dx qui sont négatifs, car x décroît alors de h à a. Les deux sommes sont donc formées d'éléments égaux et de signes contraires ; elles sont égales en valeur absolue mais de signes contraires.

Théorème III. Fractionnement de l'intervalle d'intégration. — Soit c un nombre tel que la fonction f[x) soit continue dans les deux intervalles («, c) et {b, c) ; on a

r /-(.r) dx = r /-(.r) d.r + f f{x) dx.

Ja Ja ty'e

En effet, la première intégrale est cp (/>) — (p [a) et les deux autres o[c] — cp(a) et ç [b) — cp (c) ; si on substitue ces valeurs, le théorème devient évident.

Graphiquement, en supposant c compris entre a et b, ce fractionnement de l'intervalle revient à diviser l'aire du segment Pg Mq m, P, [fi^. 13) en deux autres, à l'aide d'une ordonnée intermédiaire M P d'abscisse r, et à écrire que l'aire totale est la somme des deux aires partielles.

Remarque. — En faisant passer les deux intégrales du second membre de la formule ci-dessus dans le premier, et en intervertissant ensuite leurs limites, on peut écrire la formule

£ f[x) dx+£ /•(.,) dx+£ /■(,,) </.r =0.

Théorème IV. La déris^èe de l'intégrale ( f[x) dx, par rap-

port à la limite supérieure b, est f[b] ; la déri\>ée, par rapport à la limite inférieure a, est — f(a).

Kn effet, appelons ^ (x) une des fonctions primitives de /"(.r), c'esl-ii-dire une fonction telle que

On a

FO\CTIO.\S l'HIMITIVES. INTEGRALES DEFIMES 5i

La dérivée de I, par rapport à Z», -y^-, est 'y(^),c'est-k-dire/'(/>); et

dû

dl

sa dérivée -7— , par rapport à a, est — »'(«), c'est-k-dire — f{a.

Théorème V. Supposons (pie h soit supérieur à a et que^ pour toutes les valeurs de x comprises entre a et h, on ait

fir\ pou{>ant être égale à g [:r)pour certaines valeurs particulières isolées de .i\ on a également

Çf{x)d.c>fg[x)d.v.

En effet la première intégrale est

lim [r.r, -a) f{a)+ [x,- x,)f[x,] + ... [b- x „^ f [x ,,)]

et la deuxième

lim [(.r, — a) g{a) + (.r, — .rj g (.rj + ...4" [b — oc,,^ g [x,, ,)].

Gomme Z»>rt, les facteurs (.r — a), [x^ — •^i)---> (^ — ^„,)sont positifs, et les termes de la première somme sont tous plus

Mo

Mi

Fig. 14.

grands que ceux de la deuxième. La première somme est donc plus grande que la deuxième.

Graphiquement (fig, 14) la première intégrale est l'aire du

5a COURS D'ANALYSE

segment P,.M,,M, P, de la courbe i/=f{.r), la deuxième l'aire du segment de même base P^M'^^M'^P, de la courbe y=^ W; la première courbe étant au-dessus de la deuxième, la première aire est évidemment supérieure à la deuxième.

Application. — Ce théorème permet de comprendre entre des limites une intégrale qu'on ne sait pas trouver exactement : soit par exemple (*)

où n est une constante plus grande que 2. Comme .r est moindre que 1, on a .r*>j^">0.

L'intégrale I est donc comprise entre

j vi — y I

c'est-à-dire entre

arc sin -^ et -y

ou encore entre

^ = 0,52 et -i- =0,50.

33. Valeur moyenne d*une fonction dans un intervalle. Considérons une intégrale définie

;•) Voyez Scrrct. Calcul intégral.

FOyCTIONS PRIMITIVES. INTÉGRALES DÉFINIES 53

et supposons h>a. Soit M la plus grande valeur que prenne /'(.r) quand x varie de a à h, et m la plus petite valeur de f[:v) dans le même intervalle. On a

M > /- (.r) donc, d'après le théorème précédent,

r Udr >f f(,r) dx.

Or, M étant une constante, l'une des déterminations de l'intégrale indéfinie de M^/.r est M^ et l'intégrale définie, entre les limites a et h, est M [b — a). Donc

On trouve de même

f f{x)dx > m [b-^a).

D'après cela, en appelant jjl un nombre convenablement choisi entre M et m, on peut écrire

Si la fonction est continue dans l'intervalle d'intégration, elle passe au moins une fois par toute valeur comprise entre son maximum M et son minimum m ; elle passe donc par la valeur ix pour une valeur de r, .r==;, comprise entre a et Z», et on peut écrire

ix = /•($), a^l^b.

D'où la formule

Ces formules sont évidentes graphiquement. L'intégrale I f[x)dx représente l'aire du segment P^^M^M^Pj [fig. 15) de la

COURS D'.AA ALYSE

courbe ij z=f{x). Cette aire est évidemment comprise entre le rectangle l^R^R, Pi de base (Z* — a) ayant pour hauteur l'ordonnée maximum M, et le rectangle P^S^S^Pi de même base ayant pour hauteur l'ordonnée minimum, c'est-à-dire entre M {b — a) et

Fig. i5.

ffi {h — a). L'aire est donc équivalente à un certain rectangle ^0 V-Q [^1 ^1 ^^ ^"^^ ^0 ^1 ^y^^^ une hauteur |jl comprise entre M et m\ la base supérieure tx^^ pt^ de ce rectangle coupe la courbe en un point H d'abscisse $ comprise entre a et /» et on peut écrire

/* VW dx = (h - «) fx = [b -a) fil),

On appelle {>aleur moyenne de la fonction f[.v) de la %'ariable .r dans Vinlervalle a, />, la quantité {x que nous i>enons de définir

i^=-^/Vw'/^-

quantité qui est telle que le rectangle de base P^, P, et de hauteur jjl soit équiçalent au segment 1\ M,, M^ P,.

Voici comment on peut justifier cette définition. Partageons la

droite P^^ P, en n parties Ix égales à par des points de

division d'abscisses j*,, jr^.. .r„, et considérons les /i ordonnées équidistantes :

FoycTioys primitives, i y teg râles défîmes v7

La valrur moyoïiiie de ces ordonnées est, d'après la définition nrdiiiaiiT <U' la moyenne de n quantités,

n ou, en multipliant haut et bas par A.ret remplaçant nl.v par h — (i^

[f[a) lx-^f{,v,)Lv-{- ... +/'(.i„J A.r]

Quand n augmente indéfiniment, le numérateur tend vers I f [.v) dx et la moyenne entre les n ordonnées équidistantes tend vers

il est donc naturel d'appeler cette expression la çaleur moyenne (le f[x) dans l'intervalle {a, b).

l'.xiMPLEs. — I* La valeur moyenne de sin^" de 0 à - est

/ sin X dx = [[ — cos tc) — ( — cos 0)]= ;

2** La vitesse d'un mouvement vibratoire simple, comme ceux qu'on étudie en physique, est donnée en fonction du temps t par la formule

. 2 71/ Çz= a Sin ;=;

où a est une constante linéaire et T une constante donnant la

durée de la vibration. La force vive de la molécule vibrante de

masse ni est

, . ., 2ti/ tnç- = ma- sin-

la valeur moyenne de cette force vive, pendant que la variable t varie de 0 à T, durée d'une vibration, est