T .2 TU

ma^ sin* — = — dt

ri

OU

1/intégrale indéfinie est

T . ^TJ

t z — sm

et l'intégrale définie est la différence des valeurs que prend cette fonction pour / =: T et / = o, c'est-à-dire T. La valeur moyenne demandée est donc

2 • 34. Formule des accroissements unis. — La formule

OÙ Ç est un nombre compris entre a et A, est identique à la formule qu'on appelle formule des accroissements finis. Soit, en effet, ^ (.r) une fonction ayant pour dérivée f[.r)

l'intégrale définie est égale à ï) (/>) — (p (<?) et la formule peut s'écrire

ce qui est précisément la formule des accroissements finis.

35. Intégration p&r parties. — Soient n et f deux fonctions de .r ; considérons une intégrale définie de la forme

Une des valeurs de l'intégrale indéfinie étant //<», l'intégrale définie est

FoycTio.ys rni MirivEs. istegrales défîmes

o» les indices h et a signifient qu'il laut successivement remplacer .r par h et par (i. On peut donc écrire

ou, en transposant,

udç = (//(^}^ — [inf)^

Telle est, pour une intégrale définie, la formule d'intégration par parties.

Notation. — Pour désigner la différence des valeurs que prend une fonction de .r, F (.r) pour .r = h et .i= «, on emploie habituellement la notation

de sorte que l'on a, par définition.

Par exemple, dans la formule précédente

et cette formule peut s'écrire

l((lç -=

Exemple. — Soit \ une quantité positive, calculons les deux intégrales

A= / e ~'^ sin x d,r, B = / e "" *"^ cos x dx,

où la limite supérieure est l'infini positif. Nous reviendrons plus

tard en détail sur les intégrales dont une limite est infinie. Nous admettrons ici que les règles précédentes s'appliquent. En posant:

n = e~ '^y i' = — cos jTj velu = Xe^^^cos jc, on peut écrire

«yj- = 0 t/j — 0

Or, (w^)gç = 0, car g-* == Of et (''^)o = — A > "" ^ ainsi la relation

A ==: 1 — aB.

En posant ensuite

// = e~ ^j i> = sin .Vy ^*dii = — \e ~'^ sin .r,

et remarquant ([ue maintenant (// r) ^^ =0 et (// r)^, = 0, on a