Premier exemple. — Considérons la surface
Prenons comme courbe C, dans le plan des xy^ un demi-cercle
DEF, ayant son centre H sur O.r, à une distance 011=^2 et pour rayon 1 (fig. 178). Le demi-cercle a pour équation
Le volume cherché V est limité, latéralement, par la surface cylindrique ayant ce demi-cercle pour directrice, en bas par le plan des xijy en haut par la surface
On
xy.
V =JJz(Lv(ly =j Jxydxdy,
l'intégrale étant étendue au demi-cercle C. Prenons d'abord la somme T des cylindres élémentaires
zdxdyy
dont les bases dxdy sont comprises entre les deux parallèles à O.r, PA et PjAj, d'ordonnées y, et y-\-dy. Nous aurons ainsi, une tranche du solide
T = dyjxydx;
dans cette tranche y et dy sont constants ; x varie depuis .r,, abscisse du point d'entrée M^ de la droite PA, jusqu'à .r^, abscisse du point de sortie. Donc :
T = dy I xydx.
CALCUL D'USE ly 1 KCHALE DOUBLE 5i5
Les limites jTj et .r^ sont des fonctions de ^, fournies par l'équation du demi-cercle C,
dans laquelle y a la valeur OP. On a donc
•Ti+^j = 4, Xj — j-, =2v/l— y-.
xydx est ' ^ et l'intégrale définie
jcydx=4ri:4 — '^x^
Remplaçant .r, et .r^ par leurs valeurs, on a
C'est là la fonction ^[y) du cas général. La tranche T est donc
T = 4y/n^rfy.
Pour avoir le volume, il faut maintenant faire la somme de ces tranches.
y = Uy\'Y^^'dy.
On remarque que. pour obtenir toutes les tranches, il faut déplacer PA entre l'axe Ojc et la tangente au cercle P'A', parallèle à 0.r; il faut donc faire varier ?/ de 0 à 1, et on a
\=£^y>^T=^'dy.
L'intégrale indéfinie s'obtient immédiatement, car ^ydy est, à un facteur numérique près, la différentielle de 1 — y^, de sorte qu'on peut écrire
-2f[i-,f)-^d[i-,/); l'intégrale indéfinie est donc ^
5i6 coins D'ANALYSE
et l'iiilégrale définie entre les limites ?/ = 0 et // = 1, est
332. Deuxiîime exemple. — Prenons comme base d'une surlace cylindrique le triangle OEF, limité par les axes OxOify et par la droite EF [fig. 179) ayant pour équation
puis, considérons le volume limité par cette surface cylindrique,
le plan des jry et la surface
T.e volume V est donné par la formule
l'intégrale étant étendue à l'aire du trianjïle OEF. Evaluons d'abord la somme des cylindres élémentaires {2a:'^-\-y^-\-i) dx dy, compris entre les deux droites PA
et PjAj, parallèles à Oj", ayant pour ordonnées ?/ et y-\-dy. Cette
somme est une tranche T du volume donnée par
Fig. 179.
dyf{2x^
i)dx',
les limites de cette intégrale sont les abscisses x^ et x., des points P et Mj où la droite PA, d'ordonnée y, coupe le contour de l'aire de base OEF ; on a donc :
comme il résulte de l'équation de la droite EF. Ainsi,
t/fl L'intégrale indéfinie est
— 7T — \-y^jc+x,
CALCUL D'USE ISTÉGRALE DOUBLE u;
et l'intégrale définie, entre les limites 0 et 1 — y.
Donc
-^{^-yY + >f(S->j) + ^~>j-
'^^^y\^i^-yi'+'f-y'+^-y\-
Pour avoir le volume tout entier, il faut faire la somme de toutes les tranches analogues, en déplaçant P de O en F, c'est-à-dire faisant varier y de 0 h 1 :
V =£dij [-|-(1 -yf + f - y» + 1 - y] . L'intégrale indéfinie est
et l'intégrale définie, entre les limites 0 et 1,
333. Interprétation géométrique du calcul. — Si nous reprenons le cas général, nous pouvons vérifier que la méthode actuelle, pour le calcul des volumes, revient au fond à celle qui a été exposée au N° 44 et qui consiste h regarder un volume comme la somme des tranches infiniment minces, obtenues en le coupant par des plans parallèles à un plan fixe.
En effet, l'intégrale
f[x,if)d.v
ou
r\zd.v
représente l'aire de la section M^R^R^M^, faite dans le volume V, par le plan vertical, de trace PA [fig. 177). Cette aire est une fonction ^(jy) de l'ordonnée 0P=//. La tranche comprise entre les deux plans verticaux de traces iVP et A,P, peut être assimilée à
un cylindre ayant pour base la section ^(i/) et pour hauteur PPj=c?y; son volume est donc
Le volume V est alors la somme de ces tranches
334. Remarque. — Nous avons supposé, pour simplifier, qu'une parallèle PA à 0^ coupe le contour de l'aire, à laquelle est éten-
due l'intégrale double, en deux points seulement, M, et M^. Si la courbe C a une forme plus compliquée, il peut arriver que la parallèle PA à O^ la coupe en un nombre quelconque de points, nécessairement pair.
Mais alors on peut toujours, par des lignes transversales, décomposer l'aire C en d'autres C^C^,..., C„ limitées par des contours, qui sont rencontrés chacun en deux points seulement par des parallèles à 0^:^. On calculera les valeurs Ij,!^,..., I„ de l'intégrale double, pour chacune de ces aires partielles, et il ne restera plus qu'à faire la somme des résultats, Ij-f-l2-t-...+I„.
Supposons, par exemple, que la courbe C ait la forme de la figure 180. Menons à cette courbe des tangentes P^A,,, P'A', P''A'', p///^///^ parallèles h 0^ : elles partagent l'aire en quatre parties
CALCUL D'USE ISTKGnALE DOUBLE EN COORDONNÉES POLAIRES 319
1,2,3,4, qui sont : 1, la partie EA^B ; 2, la partie FIIK; 3,1a partie KEBL; 4, la partie FKLM.
Le contour de chacune de ces parties n'est rencontré qu'en deux points par les parallèles à Ox. On calculera les valeurs IpL,l3,I^ de l'intégrale double étendue successivement à ces quatre parties. L'intégrale étendue à l'aire entière sera
lU. - CALCUL D'UNE INTÉGRALE DOUBLE EN COORDONNÉES POLAIRES
