Méthode. — Appelons /• et Q le rayon vecteur OM et

l'angle polaire j^O^Î d'un point M du plan des jcy. Pour évaluer, en coordonnées polaires, l'intégrale double

r, y) ^w, étendue à une aire plane du plan des .r//, limitée par une courbe C,

Fig. 181.

Fig. 182.

on décompose cette aire en éléments superficiels infiniment petits diù par les deux ramilles de courbes [fig. 181)

Les courbes r^C* sont des cercles de centre O ; les courbes 0 = 0** sont des droites issues de l'origine. Un élément superficiel c?a) ainsi obtenu, est un rectangle curviligne ABCD [fig. 182) limité par deux droites OAB et ODC, faisant entre elles l'angle

Stio COURS D'ANALYSE

infiniment petit d^ et par deux arcs de cercle BC et AD, ayant pour centre 0 et pour rayons respectifs r-\-(lr et /•. Cet élément infiniment petit peut être assimilé à un rectangle ABCD, dont les côtés AB = dr et AD = rd^ ; sa surface est donc

c?oj = rd^dv.

Comme, d'ailleurs,

:r=:/'cosQ, y =: /• sin 8, l'intégrale double s'écrit

f ff{^, y) do) = C Çfir cos e, /sin 8) rdUr,

expression de la forme

ÇÇ^^(r,^]rdMr,

cp(/-,0) désignant une fonction de /et 8.

Remarque. — En écrivant que l'aire ABCD est égale AB.AD, on néglige des infiniment petits d'ordre supérieur, qui n'ont pas d'influence sur la valeur de la somme. Si l'on veut présenter le raisonnement rigoureusement, on remarquera que, en désignant par A9 l'angle AOD et par A/- le côté AB, on a

aire ABCD = Aw =-!.[(,. + A/)- —z^] AB,

car l'aire Aw est la diflerence des deux secteurs OBC et CAD. En réduisant

L'intégrale

JJ<p(r,6)rfu,,

est alors la limite de la somme

^ !p(,',e) (rA,'+-lAr^)Ae.

Cette limite est la même que celle de la somme plus simple

Vo(,',6)/-A,-Afi,

CALCUL D'USE INTÉGRALE DOUBLE ES COOHDOSSÉES l'OLAinES 52 1

car le rapport de deux termes correspoiidîuils de ces deux sommes

tend vers 1, quand A/- et AB tendent vers zéro. î.e volume est donc donné par la limite de la somme

ce qu'on exprime en disant qu'il est donné par l'intégrale double

Calcul de Tintégrale. — Pour calculer, elïectivement, l'intégrale, c'est-à-dire pour l'aire la somme des cylindres élémentaires 'f (/',B) 7'd^ dr, relatifs à toutes les aires élémentaires du dans lesquelles on a décomposé l'aire limitée par la courbe C, faisons d'abord la somme des prismes compris, entre deux rayons OP et OP', faisant, avec O^r, les ^ angles polaires jcOP = h , xOV' = ^-\-d^, où c?8 est infiniment petit (fg. 183) .

Nous obtiendrons ainsi une tranche T du volume, tranche comprise entre les deux plans zOV et 3OP'. Cette tranche est une somme de termes de la forme

i^. is;.

'd^dr

dans laquelle dh est le même pour tous les termes ainsi que Q. On peut donc écrire

r seul variant d'un terme au suivant.

522 COURS D'ASALYSE

Supposons l'origine O extérieure à la base C. Si on appelle Mj et M^ les points où le rayon OP coupe la courbe limite C, i\ et r, les rayons vecteurs OM^ et OM^ de ces deux points, il faudra, dans la somme

faire varier /• de i\ à t\ : cette somme ^ est alors une intégrale simple prise, par rapport à /•, de /•, à / .,, et on a

Les limites i\ et r,^ sont des fonctions de 8, définies par la forme de la courbe limite. L'intégrale

ir, h\ rdr.

est donc une fonction 4^(8) et on a finalement

Après avoir évalué ainsi la tranche T, il faut faire la somme de toutes les tranches analogues, obtenues en faisant varier 8. Si l'on mène, de l'origine, les tangentes à la courbe C, OA^, etOA', faisant avec Ox des angles 8^ et 8', il faudra faire varier 8 de 8^ à 8'. La somme des tranches T, c'est-à-dire le volume V, est alors

Le volume s'obtient donc par deux (juadratures successives. En remplaçant 4'(8). par sa valeur,

jf"V(/-,8)/Y//-,

on peut écrire

\=C'd^ f"\[r,(i)rdr,

OÙ il faut commencer par calculer l'intégrale de droite : cette

CALCUL D'USE L\TÉGIiALE DOUBLE EN COORDOSSÉES POLAIRES 523

intégrale étant calculée, on la multiplie par d^ et on intègre par rapport h 8, de 8^ à 8'.

Quand on opère ainsi, on dit qu'on intègre d'abord par rapport à /", puis par rapport à 8.

336. Exemple. — Soit une sphère, dont le centre est à l'origine et dont le rayon a une longueur fl. La figure 184 représente le huitième de cette sphère. Dans le plan des xy, sur le rayon OA (dirigé suivant Ojc) comme diamètre, décrivons un demicercle C. Nous allons calculer le volume du cylindre qui a pour base ce demi-cercle et qui est limité supérieurement par la sphère. L'équation de hi surface étant

on a

-hr-t

et, en coordonnées polaires dans le plan des jcy^

Le volume V est alors

l'intégrale étant étendue h l'aire du demi-cercle de base. Soient OP et OP^ deux rayons infiniment voisins faisant, avec Oj', les angles 8 et ^-{-dH. La tranche T du solide, comprise entre les plans rOP et 3OP,, est

T = dHfWa'—r'rdr,

Tj et r^ étant les rayons vecteurs des deux points M^ et M, où OP rencontre la demi-circonférence limite. Le point M^ est évidemment en 0, /•, = 0.

Quant au rayon vecteur r.^=0^\.^y le triangle rectangle AOM^ donne immédiatement

i\= a cosO, (équation polaire de la demi-circonférence de base). On a donc

/a cosQ si a" — r' idr,

[.'intégrale indéfinie étant

l'intégrale définie est

^<7^ sin"^ 8 H — iT-a'\

Donc,

Le volume est la somme des tranches T : pour les obtenir toutes il faut faire tourner le rayon OP de Or jusqu'à Oy, c'est-à-dire

faire varier B de 0 à -^. Donc ;

Y = V T = 4çcâ p (1 — sin"» 8) dh.

En écrivant

sin=^8=(i — cos2 9)sin8,

on voit que l'intégrale indéfinie est

eH-cos8 ^cos^8

et l'intégrale définie

Donc, enfin.

CALCUL D LWE l.M'LGliALE DOilil.i: A.V COORDONNÉES POLAIRES )2>

La tlifréreiice entre le huitième de la sphère, figuré dans 1; figure 184, et ce volume est

337. Remauque. — Si un rayon vecteur, issu de O, coupait la courhe C en plus de deux points, il la couperait en un nombre pair de points : il entrerait dans C en M,, sortirait en M^, rentrerait en Mg, resortirait enM^. ..

11 faudrait alors intégrer par rapport à /• de /', à /•„ puis de

338. Modifications à apporter au calcul précèdent, quand l'origine est dans le champ d'intégration. — Nous avons supposé O en dehors de la base C ; quand O est dans la base, il faut modifier évidemment les valeurs des limites des deux intégrations. Tout d'abord ifig. 185) pour avoir une tranche du volume comprise entre deux rayons vecteurs OP et OP', faisant entre eux l'angle </6, il faut faire la somme des cylindres '•^{rfi) r d^ dr, en faisant varier /• de 0 (point 0) jusqu'à r.^ (point M^ où OP sort de l'aire C).

Fi g. i85.

T=d^f\{r,h)rdr,

Dans cette intégrale r^est une fonction de 8, donnée par l'équation de la courbe C. On trouve donc, en supposant l'intégration faite,

Il faut ensuite faire la somme de toutes les tranches analogues. Il est évident que, pour les obtenir toutes, il faut maintenant faire varier ô de 0 h 2-. On a donc finalement

V= f'^^ (8) d^ = f'^d^ f\ (r, B) rdr,

•ia6 COURS D'ANALYSE

OÙ il faut calculer d'abord Viiitégrale de droite^ prise par rapport

339. Autre façon de calculer une intégrale double en coordonnées polaires. — Au lieu de commencer par faire la somme des éléments, compris entre deux rayons faisant entre eux un angle infiniment petit d^, on peut commencer par faire la somme des éléments de l'intégrale, compris entre deux cercles de centre O et de rayons /• et r-\-dr. Supposons, pour fixer les idées, O exté-

Fig. i8G.

rieur à la base. Considérons [fig. 186) un cercle de rayon /*, coupant la courbe limite C, aux deux points M, et M^, et appelons 0^ et 9^ les angles polaires correspondants .:rOMj et .rOM^. Considérons ensuite le cercle infiniment voisin de rayon r-\-dr. Ces deux cercles découpent, dans la courbe de base, une tranche ayant la forme d'une couronne, nous allons calculer d'abord la somme des éléments de l'intégrale

situés dans cette tranche. Il faudra faire une somme de termes tels que

mais, pour tous ces termes, r et dr ont la même valeur, et on peut écrire la somme S

ï = /</rVcp(r,e)rfe;

CMAii. u'lm: /.\ / /:(;/!a/./: doi ni.i: /;.v cooRDoyyKES polaires "ju-

raiigle polaiit' 0 varie seul d'un élément à l'autre de la tranche T, et il varie de H, à f|.. Ou a donc

T = /ï//-^*cp(/-,e;

dh.

Les angles ô, et Ô^ sont des fonctions du rayon /• du cercle M, M.,; l'intégrale

est donc une fonction de t\ <i(/*), et on a

On a, ainsi, la partie T de la somme, correspondant à la couronne considérée ; il faut ensuite faire la somme de toutes les couronnes ainsi obtenues, en faisant varier /• de façon à balayer toute l'aire de la courbe C. Si l'on fait décroître /•, on voit que la plus petite valeur de /• est le rayon /•„ d'un cercle tangent, en A, à la courbe du côté de O : si, au contraire, on fait croître /*, on voit que la plus grande valeur de /• est le rayon /•' d'un cercle tangent en A^ à la courbe du coté opposé h O. On aura donc toutes les tranches auxiliaires telles que T, en faisant varier /• de i\ à /•', et la somme de toutes ces tranches sera

\=S^l=r rdr^[r) En remplaçant 'i(/') par sa valeur, on peut écrire aussi

où il faut commencer par calculer l'intégrale de droite.

Quand on opère ainsi, on dit qu'on intègre d'abord par rapport à 8, puis par rapport \\ r.

Nous avons supposé le pôle O hors de la courbe C. S'il était dans l'intérieur, il y aurait deux sortes de couronnes suivant les valeurs attribuées à r.

V* Pour r pris au-dessous d'une certaine limite i\y on aurait des couronnes fermées situées tout entières dans l'aire. Pour éva-

cou lis DWNAl.YSK

luer lu IraiR'ho ctM jespoiidante T, il raïuba intégrer par rapport à e de 0 à 2r,

J = rdrP^''^(r,^)dH

on fera ensuite la somme des tranches annulaires T de cette pre

1ère sorte, en Taisant varier /• de 0 à /•

2<'Si on prend ensuite /' plus grand que /'„,on obtient des cercles, coupant la courbe en deux points M^ et M^, et la partie correspondante du volume s'évalue comme dans le cas précédent.