AIRE D'UNE SURFACE COURBE
le signe ^ indiquant qu'il faut faire la somme de toutes les facettes du polyèdre. On écrit, pour abréger
d(5 désignant une facette infiniment petite.
Si l'on projette la surface courbe sur le plan des jci/y le contour ahcd se projette suivant une courbe C. Nous supposerons, pour simplifier, que la surface courbe se projette tout entière dans l'intérieur de C et que toute parallèle à Oz, ayant son pied à l'intérieur de C, coupe la surface courbe en un seul point. Si ces conditions n'étaient pas remplies, on pourrait toujours découper la surface courbe, en morceaux remplissant séparément ces conditions.
Les faces du polyèdre inscrit se projettent suivant des éléments d'aire du contour fermée C. La face Aa, par exemple, se projette sur le plan des .r// suivant une aire plane Aco, et on a
Ai A ^^ *
Aa)= At cos a, A7 = >
cosa
a désignant l'angle aigu du plan de la face le avec le plan des x\i/ ; on a alors
b:=:lim > A^y^lim > ..
AJ i-J cosa
Quand la face A<j se réduit à un point M de la surface courbe et que le plan de Aa tend vers le plan tangent en M, a tend vers l'angle / que fait le plan tangent en M avec le plan des wt/. On en conclut que l'on a aussi
S = lim 7 ^
^J cos A
la somme étant étendue à tous les éléments superficiels de la courbe plane C. En effet, dans ces deux sommes,
cos a ^ cos X
pi
le rapport des termes correspondants est ^; il tend vers 1,
'^^ ^ cos A
cos a cos APPELL. Analyse. 34
)3o COURS D' ANALYSE
quand les éléments Aw tendent vers zéro, en se réduisant à des points, car a tend vers A. On a donc
J J cos À
l'intégrale étant étendue à l'aire de la courbe lerniée C.
r.e facteur ^ est aisé à évaluer. En effet, l'équation du plan
cos À *
tangent, en un point de la surface courbe, étant
■L-, = p{X-a:)+qÇi-,j),
le cosinus de l'angle aigu \ que ce plan fait avec le plan des xy est
cos h
(^omnie :: est une l'onction donnée de .r et y,
^=f {■'-,!/), p et q sont des fonctions connues de x et // et l'on a
F(j7,?/) étant une fonction connue. L'aire courbe est alors une intégrale de la forme
étendue à l'aire plane C. On évaluera cette intégrale comme nous l'avons fait plus haut, en prenant soit des coordonnées rectangulaires, soit des coordonnées polaires.
341. Exemple. Aire d^une portion de surface sphérique. — Prenons une sphère de centre O et de rayon a
et, sur cette sphère, un contour fermé E, se projetant sur le plan des xy^ suivant la courbe fermée C. Evaluons Taire S située dans
AIRE D'UyE SURFACE COURBE )3i
ce contour E. Actuellement, en difTérentiant le premier membre de réquation de la sphère par rapport à .r, on a
x-hp-'=-0;
et, en difTérentiant par rapport à y,
î/-hf'--=0.
Donc
1 r"- -1- il-
>J^^f + f = Sj' ' 'i ' ' =^
en supposant, comme dans la figure 184, z positif pour les points de Taire E. Alors
l'intégrale étant étendue à l'aire plane C.
Il est d'ailleurs évident géométriquement que cos A=-^,car,
en joignant le point O à un point M de la surface sphéri([ue, on obtient la normale, en M, faisant avec Oz un angle égal à A. Ecrivant que la projection de OM sur Oz est -, on a
z = a cos )., donc
J J cos A J J z
Supposons, par exemple, que la courbe G soit la demi-circonférence décrite, dans le plan des xi/, sur OA comme diamètre [fig. 184). Pour évaluer l'aire sphérique qui se projette dans cette demi-circonférence C, nous calculerons l'intégrale double précédente, en prenant des coordonnées polaires /• et 9 dans le plan des xy. Nous aurons
z={^a'-~r\ dio=rd^dry J J v/a*H
Intégrons d'abord, par rapport à /*, en évaluant la partie T de la somme correspondant aux éléments situés entre deux rayons OP et OPj faisant avec O^^ les angles 9 et 8 -f- ^^- Pour tous ces éléments, 8 et d^ sont les mêmes et /• varie de 0 à OM^=:rt cos8, Mj étant le point où OP rencontre la demi-circonférence ; la somme des éléments considérés est donc
= ad^ f
coso ,.^,.
Va^ — f'
L'intégrale indéfinie étant — ^à^ — r^, on a
T = ad^ ( — a sin 9 -f- «) .
Reste à faire la somme des tranches d'éléments telles que T en faisant varier le rayon OP depuis la position Ojc jusqu'à Oij, de façon à balayer toute l'aire du demi-cercle. Il faut, pour cela, faire
varier 8 de 0 à -^ . On a donc enfin
S = VT=:a2r'(l — sin8)^8.
L'intégrale indéfinie est 8 + cos8 et l'intégrale définie
Donc
Théorème de Viviani. — La courbe K, limitant sur la sphère l'aire S, divise le huitième de la sphère représenté sur la figure i84 en deux parties : la partie, intérieure à E, a pour surface S ; la partie extérieure a pour surface le huitième de la surface sphérique totale, moins S,
Tza-
Cette partie extérieure est donc équivalente au carré de côté a. C'est là le théorème de Yiviani.
AIRE DINE SUHFACE COUniiE 533
342. Autre exemple général d'intégrale double. — Soit une portion de surface courbe, limitée par un contour ahcd (fig. 187) qui se projette horizontalement en C. Soit, d'autre part,'| une fonction continue, ayant une valeur déterminée, en chaque point de la surface. Divisons la surface en éléments superficiels infiniment petits (h et considérons la somme des produits obtenus, en multipliant l'étendue dts de chaque élément par la valeur de } sur cet élément. Cette somme est une intégrale double
On peut la ramener à une intégrale double étendue, à la projection de la surface sur le plan des .iij, projection limitée par la courbe C.
En ellet, en appelant </w la projection de de sur le plan des xy et A l'angle aigu du plan tangent à la surface au point limite de do avec le plan des a*//, on a
d{.ù =û?a cos )v, d'où
Comme plus haut,
cos A
est une fonction de a: et y ; la fonction '^, étant connue en chaque point M de la surface, est une fonction des coordonnées a* et // de ce point. Donc :
et on a, finalement, à calculer une intégrale double
étendue h l'aire plane limitée par la courbe C. On la calculera, comme précédemment, en employant des coordonnées rectangulaires ou des coordonnées polaires.
5}î COURS D'ANALYSE
