V. - APPLICATION. — INTÉGRALES fiULÉRIENNES

343. Intégrale eulérienne de première espèce. — Soient a et /), deux constantes positives; on appelle intégiale eulérienne de première espèce l'intégrale

[a,b)=f\,^-\i-ay-^

Cette .intégrale a un sens tant que a et b sont positifs : elle devient infinie, si un des nombres aetb est nul ou néga f if (^°i^0).

La valeur de l'intégrale ne change pas, quand on permute a et b. En effet, si on change de variable en faisant

n=i — (', dit =: — d{>,

les limites deviennent 1 et 0 ; en intervertissant ces limites et changeant le signe, on a l'intégrale

(^a,b)=:f\>'-'[i—i>y-'di',

c'est-à-dire, puisque la valeur d'une intégrale définie ne dépend pas de la variable d'intégration,

Faisons encore le changement de variable

n = sin-hj ^//= 2sinôcosOr/8.

Les limites deviennent 0 et -y et on a

B{a,b) = 2 r ' sin2« - ' e cos'^'' - * 8^8.

Par exemple, en faisant

on a

INTÉGRALES EULÉRIENNES 5j»

On ramène le calcul de ces intégrales au calcul d'intégrales no dépendant que d'un paramètre de la façon suivante.

344. Intégrale eulérienne de deuxième espèce . — Soit a une constante positive; on appelle intégrale eulérienne de deuxième espèce, l'intégrale définie

Cette intégrale devient infinie, quand a est nul ou négatil" (N*> 131). En faisant :

H = :r^, du = 2 .rdjc.

on a aussi

T{a)=2 fl^^-'e-^'dj-.

Voici quelques théorèmes sur ces intégrales. 1« On a

En effet, supposons [a — 1) positif, écrivons r(a)= / !(''-' de-'' ,

et intégrons par parties ; nous aurons

r(a)==— le-"//"-* *f-(rt l) /^««-«e-"^,/.

La partie intégrée est nulle aux limites, car ?/""* s'annule pour

11=0 et e~" pour u=cc . D'ailleurs l'intégrale / it"~e~"dn est

égale à r(« — 1). Le théorème est donc démontré.

Par l'application répétée de ce théorème, on ramène le calcul d'une intégrale eulérienne r(«) au calculd'une intégrale analogue, dans laquelle a est compris entre 1 et 2. En effet, a étant compris entre 4 et 5, par exemple, on écrira :

et on sera ramené à une intégrale, où le paramètre a — 3 est compris entre 1 et 2.

2** Si a est un entier positif, on a

En effet, d'après la propriété précédente, on a

r(fl) = («—!) r(a—i), r(a — !)=-(« — 2)r(a— 2),

Donc, quand a est entier positif,

Reste à calculer

r(l) = re-"t/î^;

l'intégrale indéfinie est — e~" et l'intégrale définie 1. Donc r(l)=l, ce qui démontre la formule.

On peut remarquer que r(0) est infini : en effet

cette intégrale est infinie, car l'élément différentiel devient infini

pour la limite inférieure « = 0, comme (N® 131).

Ainsi, on a

r(2)=l, r(3)==1.2, r(4) = 1.2.3, etc.

345. JîêductiOi2 des fonctions B{a,lj) aux fonctions V. — Soient a et b deux nombres positifs, considérons la surface ayant pour équation

Proposons-nous d'évaluer le volume limité, latéralement, par les plans xOz et yOz; inférieurement, par la partie indéfinie du plan

lyTKGIi.i LES KULERtENNES

^Çâzzzm.

Fig. .1

des xij située dans l'angle positif j;0/^ et, supérieurement, pai* la surface (4). Ce volume est

l'intégration étant étendue à l'angle indéfini xOy. Nous obtiendrons la formule que nous avons en vue, en employant, successivement, pour évaluer ce volume, les coordonnées cartésiennes et les coordonnées polaires dans le plan des xy.

En coordonnées cartésiennes , on a

r Tr-" - * e- " y-^ - ' e- ^' (Lvify.

Si nous intégrons d'abord par rapport à r, en donnant à y une valeur constante OP et à dy une valeur constante PP^ (fig. 188), nous avons à faire la somme

T = y'' - ' e- " dy l\v-^ - » e - - dx,

x variant de 0 à oo , car l'aire qui sert de base au volume est l'angle indéfini de xOy. Comme on a

T{a) = 2 I x-^-'e-^'dx, la tranche T est donnée par

11 faut maintenant faire la somme de ces tranches en faisant varier

y = OP, de 0 à 00 ; ce qui donne, pour le volume,

V^i-rH/^-'e-vrfy.

Cette nouvelle intégrale étant -^ l (^)j ^^ a enfin :

Prenons maintenant des coordonnées polaires, dans le plan des xy. L'élément superficiel ihù doit, alors, être pris égal à rd^dr. L'équation de la surface devient en faisant

^ = rcos9, i/ = rsinb,

:. =:. z-^" + =^'> - 2 e- '" cos^« - ' 8 sin '^''fi,

et le volume Y est donné par

Il faut étendre cette intégrale à l'angle indéfini My. Prenons d'abord la somme des éléments compris entre un rayon vecteur OA, faisant avec O^ l'angle 8, et le rayon infiniment voisin OA', faisant avec 0:r l'angle 8-}-c?8. Dans la tranche T, ainsi définie, 8 et d^ sont constants, /• varie de 0 à go . On a donc

T = cos2« - * 8 sin^^ - ' 8^/8 / /•-« + 26 - 1 ^- r^^,.^

Cette dernière intégrale est -jr-r(rt-f-^)j comme on le voit, en changeant dans l'expression

T{a)=2 rx^'^-'e-'^'dx, a ei\ a-\- h. Donc

T= i-cos^«-^8sin2^-*8rf8. r(«-hZ»).

Le volume entier est la somme de ces tranches, étendue à tout l'angle ocOy, c'est-à-dire obtenue, en faisant varier 8 de 0 à -^'

V=4-r (« + />) Pcos^" •8siir''-*8f/8.

Mais la dernière intégrale est-;r-B(a,Z>) ; donc

là

ISTICGHALES K i L i: RIE SNE S 539

Egalant ces deux valeurs du volume V, on a la formule cherchée :

Comme application de cette formule, faisons

nous aurons

(1. ±Ul Lll \2^ 2/"~ r(i)

(1 1 \ -y, —1=7:, comme nous l'avons vu plus haut;

ne ù il faut prendre la valeur positive, car Fl-jj- jest positif. Comme

on a

en faisant a = -^ , on obtient la formule

346. Tables numériques. — On trouvera h la page 60 des tables de Ilouël, déjà citées, une table donnant les valeurs de log r(l-f-j7) pour les valeurs de a: comprises entre 0 et 1. Cette table permet de calculer la valeur der(a), pour a quelconque, car, à l'aide de la relation

on peut toujours ramener l'argument à être compris entre 1 et 2.

La même table permet de calculer les intégrales B, car ces

intégrales sont exprimées par des fonctions F par la formule (5).

54o COURS D'A y A LY SE