VI. — INTÉGRALES TRIPLES
347. Définition. — Considérons une surface fermée S et une fonction '^[:v,îj,z), ayant une valeur déterminée, en chaque point du volume V, limité par cette surface. Divisons le volume intérieur en éléments de volume infiniment petits, d^', tendant vers zéro
en se réduisant à des points ifj'iif. 189).
Sy^ \ Imaginons qu'on multiplie chaque élé-
/ i^^dr? I ïwent de volume ch' par la valeur de la
fonction es (.i;,/y, 3), au point auquel se réduit cet élément, et qu'on fasse la somme des produits ainsi obtenus, on aura une somme qu'on désigne par
fjj?{^'^!/^')^^'y
Fi g. 189.
et qui est le type des intégrales triples.
On dit que l'intégrale triple est étendue au volume V limité parla surface S.
L'expression de ch est différente, suivant le système de coordonnées qu'on emploie, pour décomposer le volume en éléments infiniment petits.
348. Coordonnées rectangulaires. — Décomposons le volume en parallélépipèdes infiniment petits, par des plans parallèles aux trois plans coordonnés, infiniment rapprochés les uns des autres. Un de ces parallélépipèdes a pour dimensions, parallèles aux axes, des longueurs infiniment petites du^y dy et dz. Son volume d{> est donc
dv = dxdifdz,
et l'intégrale triple devient
I =j jj 'f ('*•, !/> '] dxdydz.
Pour calculer effectivement cette intégrale, il faudra faire trois intégrations successives, par rapport aux variables .r, y et z. Voici de quelle façon :
ISTÉGRALES TRIPLES 54i
Il s'agit de faire la somme des éléments
pour tous les parallélépipèdes élémentaires, dans lesquels on décompose le volume A' considéré.
Soit C le contour apparent de la surface S sur le plan des xy.
Fig. 190.
Dans ce contour apparent, prenons un rectangle élémentaire dont un sommet A a pour coordonnées x^y, les trois autres ayant pour coordonnées x-\-dXyy', x,y-\-dy; x-\-dxj y-\-dy {fig. 190). L'aire de ce rectangle est dx dy ; considérons le prisme, ayant ce rectangle pour base et ses arêtes parallèles à Oz. L'arête AA' de ce prisme entre dans le volume Y par un point M^ d'ordonnée z^y et en sort par un point M,, d'ordonnée z^.
',4i COURS D'AN Air SE
Nous commencerons par faire la somme des éléments
'f (.>p, JJ, '■) dxdijdz,
pour tous les parallélépipèdes élémentaires dxdydz situés dans ce prisme. Ces parallélépipèdes forment une pile de parallélépipèdes superposés : ils ont tous même base dxdy\ ce qui varie, d'un de ces parallélépipèdes à l'autre, c'est l'ordonnée z et *la valeur de dzy mais x',y,dxydy restent constants. La somme P des éléments :
':i{x,y,z)dxdydz,
correspondant à cette pile de parallélépipèdes, s'obtient donc en laissant x, y, dx, dy constants et faisant varier z de z^ à z^. On a ainsi
P=dxdy2^ cp {x, y, z) dz.
Cette somme est une intégrale définie prise par rapport à 3 de z^ à z^ :
P = dxdy I cp (.tv, y y z) dz.
La quantité soumise au signe | dépend de x et y. D'autre part, les limites z^ et -^ sont évidemment des fonctions de :i' et //, définies par l'équation de la surface, qui limite le volume considéré. Donc l'intégrale
est, tout calcul fait, une fonction de x et //, soh f(Xy y) cette fonction ;
La somme, relative à la pile de parallélépipèdes considérée, est donc :
P = dxdyf{x,y).
Il reste maintenant à faire la somme de toutes ces piles en donnant à la base A, d'aire dxdy y toutes les positions possibles
INTEGRALES TRIPLES
dans rintéi'ieiir de la courbe de contour apparent C. Or, cette dernière somme,
est, d'après ce qui précède, une intégrale double étendue à l'aire plane C. L'intégrale I est donc alors ramenée à l'intégrale double
=j ffi'^y y) ^^^^y^
étendue à l'aire C, intégrale que l'on calculera par les méthodes précédentes.
Remarque. — Dans cette façon de calculer l'intégrale I, nous avons d'abord intégré par rapport à 3 en rangeant les parallélépipèdes élémentaires cLvdijdz par piles parallèles à 0'. On pourrait, de même, intégrer d'abord par rapport à j; ou à //, en rangeant les^parallélépipèdes par piles parallèles à l'un des axes O^ ou Oy.
349. Théorème de Green. — Comme application de la théorie des intégrales doubles et triples, nous démontrerons une formule, souvent employée en physique mathématique, appelée formule de Green,
Considérons un volume V (fy: 190), limité par une surface fermée S : appelons dç un élément du volume V, et d's un élément de la surface S, placé en M. Désignons par a, p,Y les cosinus directeurs de la normale MN à la surface, menée vers V extérieur. Soit, enfin, H (.r, y, 3) une fonction quelconque de x, y, z, continue en tous les points du volume V. Nous allons établir la formule suivante
L'intégrale triple du premier membre est étendue au volume V: on l'obtient en multipliant chaque élément infinitésimal dç du
volume V par la valeur de -rr — , en ce point, et faisant la somme
de tous ces produits. L'intégrale double est étendue à la surface S : on l'obtient, en multipliant chaque élément infinitési-
mal d's de surface par les valeurs de H et de y sur cet élément et faisant la somme de ces produits.
Pour démontrer la formule, prenons l'intégrale triple
ÔÏI ^
àz
et calculons-la en employant un système de coordonnées rectangulaires ; alors
di' = dxdydz^
et l'intégrale devient
Effectuons d'abord l'intégration, par rapport à z. Soit, dans le plan des jcij, dxdy un élément de surface choisi à l'intérieur de la projection C du contour apparent D de la surface 3 sur le plan des ocij (fig. 190). Considérons le prisme, ayant cet élément pour base, et dont les arêtes sont parallèles à 0:: : ce prisme entre dans le volume parle point M^ en découpant sur la surface un élément ^/o-j, et sort du volume par le point M^, en découpant sur la surface un élément d'étendue d^^ Appelons a^, j3p y^ les cosinus directeurs de la normale extérieure M^N^, en M^; a2îl^2>T2 ^^ux de la normale extérieure M^N^, en M^j. Le rectangle d.vdy du plan des.r// est la projection horizontale de d'j^ et de d'j.,. Donc dxdy est égal à ^o-j. multiplié par le cosinus de l'angle aigu que fait le plan de l'élément d^^ avec le plan des xy^ angle qui est égal à l'angle aigu de la normale indéfinie à d^^ avec O^. Comme la normale extérieure MjNj fait avec O^ un angle obtus, y^ est négatif et le cosinus de l'angle aigu de la normale indéfinie avec Oz est — y,. Donc :
De même, comme l'angle de hi normale extérieure MjNj avec Oc est aigu, y^ est positif et on a
(3) d:vdy = y^û^o-^.
Ceci posé, un élément de l'intégrale triple est
INTÉGRALES TRIPLES Vij
Faisons la somme P de ces éléments, pour tous les parallélépipèdes (Lvdijdz, situés dans le prisme AM^M^ : nous devons laisser Xj ijy (Lv, <hj constants et sommer par rapport à c ; ce qui donne
en appelant c, et z., les coordonnées z des points M^ et M,. L'intégrale indéfinie est II (.r,//, 3) et l'intégrale définie
H(.r,//,-,) — IF.r,y, -,),
ou, en abrégeant,
H, cl IIj «tant les valeurs de II sur les éléments dc.^ et drs^. Donc
V = dxdij^\—VL,),
P = — W^dxdij H- W^xdij.
Telle est la somme des éléments de l'intégrale triple, correspondant aux parallélépipèdes, situés dans le prisme de base dxdy. Pour avoir l'intégrale triple I, il reste à faire la somme de toutes les expressions telles que P, en faisant coïncider successivement dxdif avec tous les éléments du plan des .r//, situés dans l'intérieur du contour apparent C. On a ainsi
I =//(— \\d.id,j + Il/rrfy),
rinlégrale étant étendue à l'aire C. Mais, dans le premier terme, sous le signe d'intégration, remplaçons dx dij par sa valeur (2), — ^\d'^^j et, dans le deuxième, remplaçons dxdy par Y^^^i» ^^ vient
I=JJy,FI,,/,,+yJI/<r,.
Dans cette somme, l'élément- Jt^ prend, successivement, toutes les positions possibles sur la partie de la surface située au-dessous du contour apparent D, et d<5,^ toutes les positions sur la partie de la surface située au-dessus du contour apparent. On peut donc écrire enfin
I=//yH</„
APPELL. Analyse. 35
5î«i COURS D'ANALYSE
la sojniiic étant étendue à tous les éléments superficiels da. La lormule est donc démontrée.
Par exemple, si on fait
on a
relation évidente, car elle exprime que la somme des valeurs algébriques des projections horizontales de tous les éléments superficiels ch d'une surface fermée est nulle. Si on fait
il — .., -^ — 1,
la lornuile devient
l/intégrale du premier membre, somme des éléments du volume, est évidemment le volume total ^ : donc
formule exprimant un volume par une intégrale double étendue a la surface S limitant le volume.
Dans la formule précédente, l'axe des z joue un rôle particulier. Nous pouvons établir deux formules analogues en faisant jouer le même rôle aux axes 0.r et O//.
Soient F(.r, //, -) et G (r, ij, z) deux fonctions finies et continues dans le volume V, on a
Ajoutons les trois formules (^1),(4) et (5) membre à membre, nous aurons la formule générale
INTEGRALES TRIPLES
On emploie aussi, en électricité, la formule suivante, obtenue en particularisant les fonctions F, G, H. Soient A(.r,y,c) et » (.r,?/,r), deux fonctions de r, y, z, la fonction ^ ayant des dérivées partielles continues dans le volume V. Prenons
La formule devient :
La (juantité
do: d.r
Oa O'j
ôj;
ai/
est appelée, ordinairement, déris>ée de '^ suivant la normale exlè-
rieure à la surface et désignée par —±~ . Yoici la raison de cette
an
dénomination. Menons la normale extérieure MN, de cosinus
Fig. 191
directeurs a, ^, y (fig. 191) : prenons, sur cette normale, une longueur MN^=A/i et appelons x^i/y z, y, 7/', z' les coordonnées des points M et N^ Quand on passe de M en N', la fonction '^ subit un accroissement
A'f = 'f {x\ y' y z') — 'f {x, tj, z)
Prenons le rapport
quand A/i tend vers zéro, ce rapport tend vers
a — ^ + 3 — ^ 4- V — ^• d^' ' Oy ' Oc
Kn elfet, on a, pour les coordonnées de N',
.i' ^= :r -|- a A/? , //' :=^ tj -{- ^A/? , 3' = 3 + yA/i .
Donc
cp (y, y, -0 = ^(^ + aA/^ //H- ?A/i, ,3 + yA/i)
en développant par la série de Taylor. On en conclut
Ao
f'aisant tendre \n vers zéro, on voit que la limite de -—^ est bien
^ An
a-~ — t-p-^T-* — hY^H-- On désigne cette limite par , ' • J.e
leuxièmo membre de la relation (6) est alors
h— Y- drs,
(S) dii
350. Remarque. — Nous avons établi ces Tormules, en supposant que la surface S ne peut être rencontrée ([u'en deux points par les parallèles aux axes. Si ces parallèles la rencontraient en plus de deux points, elles la rencontreraient en un nombre pair de points. Un raisonnement identique à celui que nous avons Tait montre que la formule de Green est générale et tout à fait indépendante de la forme de la surface.
