I - GÉNÉRALITÉS SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

351. Ordre d'une équation différentielle. — Soit ij une (onction inconnue de r : supposons qu'on donne une relation entre ;r, ij et les dérivées de y par rapport à .r jusqu'à un certain ordre n :

/ dy dhj d'Uj\ ^^

ou, avec la notation des dérivées, F (.r, ?/,?/', ^"w, y^"') = 0

Une relation de ce genre s'appelle ime équation différentielle d'ordre n.

Intégrer l'équation, c'est trouver toutes les fonctions y de la variable x qui vérifient l'équation. Quand on a trouvé une fonction y vérifiant l'équation, on dit qu'on a trouvé une fonction intégrale ou sous forme abrégée, une intégrale.

Au point de vue géométrique, on peut regarder .r et y commis les coordonnées cartésiennes d'un point d'un plan. Intégrer l'équation, c'est alors trouv^er toutes les courbes, dont l'ordonnée y, regardée comme fonction de x, vérifie l'équation difFérentielle donnée. Quand on a trouvé une courbe, dont l'ordonnée vérifie l'équation, on dit qu'on a trouvé une courbe intégrale.

352. Exemples. — Nous avons rencontré plusieurs fois des équations différentielles.

Par exemple, pour déterminer une courbe ayant une normale constante, ou une sous-normale constante, ou une tangente cens-

55o COURS D'ANALYSE

tante, ou une sous-tangente constante (N°'15i-155), nous avons été conduits à intégrer une équation différentielle du premier ordre. Dans chacun de ces problèmes nous avons trouvé que les courbes, répondant à la question, contiennent, dans leur équation générale, une constante arbitraire. Ainsi, les courbes ayant une normale de longueur constante donnée, a, sont définies par Téquation difFérentielle

qui est àw premier ordre. En l'intégrant, nous avons trouvé, pour équation générale des courbes demandées, la suivante :

contenant une constante arbitraire .r„. Ces courbes sont, comnKî on pouvait le prévoir géométriquement, des cercles, de rayon donné a^ dont le centre est un point quelconque de 0 :r.

Nous avons eu à intégrer des équations du deuxième ordre., quand nous avons cherché les courbes planes, pour lesquelles le rayon de courbure est proportionnel à la normale :

R = kn.

Nous avons trouvé, en intégrant ces équations (N"* 222), des courbes dans l'équation desquelles figurent deuj: constantes arbitraires. Par exemple, si on prend A- =+ 1, en cherchant les courbes dans lesquelles le rayon de courbure égale la normale, on est conduit à intégrer l'une des équations différentielles du deuxième ordre :

En prenant le signe -j-, on trouve, par la méthode indiquée au N" 122, la chaînette :

('. I. y i: RA II II. s s / /.' A /; s /. o i a i lo \ s hi i i i: a i: ,\ / / / /. /. /; v '> » i

ohoLci'^souideNAconsfand'squelconfjiti's, et, en prenant le signe — , les cercles

(Kl a et j sont (/cilv constantes quelconques,

353. Intégrale générale d'une équation différentielle. — I.e fait, observé dans les exemples que nous venons de rappeler, est général. Ktant donnée une équation différentielle d'ordre //, il existe une lamille de courbes, dont l'équation contient // constantes arbitraires:

et qui sont telles que leur ordonnée //, considérée comme fonction de l'abscisse, vérifie l'équation différentielle, quelles que soient les n constantes arbitraires. Cette équation (3) est ce qu'on appelbî Vintégralc'gcncrale àe l'équation différentielle. On peut, théoriquement, la supposer résolue par rapport à y et l'écrire :

Ainsi, dans les exenïples que nous venons de rappeler, l'intégrale générale de l'équation du premier ordre

est :

avec une constante arbitraire x^.

L'intégrale générale de l'équation du deuxième ordre :

est

avec deux constantes arbitraires a et 3.

Nous allons maintenant nous occuper en détail des équations du premier ordre.

II. - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE DUNE FAMILLE DE COURBES DÉPENDANT D UN PARAMÉTRE INTÉGRALE GÉNÉRALE D'UNE ÉQUATION DU PREMIER ORDRE.

354. Equation différentielle du premier ordre. — Une équation clifTérentielle du premier ordre est de la forme

Nous regarderons .r et 1/ comme les coordonnées cartésiennes d'un pojnt d'un plan.

Nous allons démontrer les deux théorèmes suivants :

1° Etant donnée^ dans le plan des :rij une famille de courbes

dont V équation contient une constante arbitraire C, V ordonnée d' une quelconque de ces courbes, considérée comme fonction de f abscisse, vérifie une équation différentielle du premier ordre^ indépendante de C.

Cette équation différentielle est ce qu'on appelle V équation différentielle des courbes (4). Sa formation n'exige que des dérivations et des éliminations.

2** Réciproquement, étant donnée une équation différentielle du premier ordre :

// existe toujours une famille de courbes planes

dépendant d'une constante arbitraire C, telle que l'ordonnée d'une de ces courbes, considérée comme fonction de l'abscisse, vérifie l'équation différentielle^ quelle que soitC.

EXISTENCE DE l/IXTÉGRiLE GÉSÉRiLE 5VJ

L'équation de ces courbes

donne ce qu'on appelle V intégrale générale de l'équation différentielle. La formation de cette équation <}' = 0 constitue l'intégralion de l'équation.

355. Équation différentielle d'une famille de courbes planes dépendant d*une constante arbitraire. — Soit :

l'équation d'une famille de courbes, où C désigne une constante arbitraire. Quand C varie, ces courbes se déplacent et recouvrent une certaine région du plan. Par un point M, pris dans cette région, passent une ou plusieurs des courbes, car, si on assujettit la courbe (4) h passer par un point donné, on a une équation déterminant C et donnant pour (] une, deux,..., y>>, valeurs suivant

qu'elle est, par rapporta C, du premier, deuxième, ,yV^'"^ degré.

(Iherchons le coefficient angulaire de la tangente à une des courbes passant par le point ^I (.r, //). Ce coefficient angulaire est défini par l'équation

obtenue en dérivant (4) par rapport à .r et regardant y comme fonction de .r. Si, entre les équations (4) et (5), on élimine C, on obtient une équation

définissant —- en fonction de .r et y. C'est là l'équation différentielle des courbes (4).

On peut interpréter cette équation en disant qu'elle détermine le coefficient angulaire -j- de la tangente à celles des courbes (4), passant par le point M de coordonnées jc et y. Cette équation (6) peut être d'un degré quelconque en -j- . Elle donne

alors plusieurs valeurs pour -y—, quand x et y sont donnés : cela

veut dire que, parle point donné M (x,ij), passent plusieurs courbes de la famille considérée, et l'équation fournit les coefficients angulaires des tangentes à ces diverses courbes, au point M.

Exemple I. — Considérons l'équation (7) /-2Cr = 0,

qui représente des paraboles, ayant pour axe Or et pour tangente au sommet Oi/ (fig. 192). Par un point quelconque M (.r, ij) du plan, il passe une de ces paraboles, car on peut toujours déterminer C, de façon que l'équation (7) soit satisfaite par les coordonnées d'un point quelconque. En difFérentiant l'équation (7), on a la relation

Fig. it)2.

définissantle coefRcient angulaire, -y—, de la tangente à l'une des

paraboles au point [x^y). L'élimination de C entre les équations (7) et (8) donne l'équation difî'érentielle des paraboles considé-

rées

Cette dernière équation peut être regardée comme donnant directement le coelïicient angulaire de la tangente à celle des paraboles qui passe par le point {x^y).

Inversement, en partant de cette équation difFérentielle (9) et en l'intégrant, on peut remonter à l'équation générale (7) des paraboles. En effet, écrivons cette équation différentielle

2dy

Nous remarquons, alors, que le premier membre est la diffé-

EXISTENCE DE L'iy IEGRALL: (JE.\EIiALE >>)

l'ontielle de 2 log//, le deuxième de log.r, et nous avons, en intégrant,

2 logy = log d' -h log 2 C,

l<>g2(l désignant une constante arbitraire. On peut écrire

logy2=:log2C.r, r==2C.r.

Les paraboles, ainsi retrouvées, fournissent l'intégrale générale de l'équation différentielle (9).

KxK.MPi.i: II. — Considérons les c<Mcles ayant pour équation ,.r-2C)^4-r-(^^-0,

où c est une constante arbitraire. Ces cercles ont leur centre sur O.r, et le rayon de chacun d'eux est égal à la moitié de

Fi g. liji.

l'abscisse du centre. Ils recouvrent toute la portion du plan située dans les angles aigus des deux droites \0 iV, BOB' [fig. 193), ayant pour équations

Ces deux droites constituent l'enveloppe des cercles, quand C varie de — oc à -|-x . Par chaque point M ;j-, //), situé dans l'un des angles AOB ou A'OB', il passe deux des cercles (10). Cherchons les coefficients angulaires des tangentes à ces deux cercles.

Eli (lifFérentiant l'équation (10) par rapport h x, en y regardant y comme fonction de .r, on a

(12) :r-2C+yy = 0,

//' désignant la dérivée de 1/ par rapport à j\ L'élimination de C, entre les deux équations (10) et (12), donne

(13) 4yV + 4/-(.r + yy7 = 0.

C'est là l'équation différentielle des cercles considérés (10) ; elle est du deuxième degré en 1/' : cela tient à ce que, par un point M(.r, ?/) du plan, il passe deux de ces cercles. Comme les cercles considérés recouvrent la partie du plan, située dans les angles AOB et A'OB^, on peut prévoir que l'équation différentielle (lv3), donnera pour ij' des valeurs réelles, seulement quand le point M (.r, ?/) sera dans l'un de ces angles. I^n effet, pour ([ue l'équation (13) en ?/' ait ses racines réelles, il faut et il suffit que

ce qui montre que les coordonnées x et 1/ du point M doivent rendre positif le facteur .r^ — 3?/^, ou encore que ce point doit être situé, par rapport au système des deux droites .r^ — 3//"=0, dans la même région que l'axe 0.r : ce qui vérifie bien la proposition. Il est intéressant de voir quelles sont les positions que doit prendre le point M, pour que l'équation en y' ait une racine double. Alors le produit

doit être nul. Donc, ou bien le point M doit être sur l'enveloppe des cercles

ce qui est évident géométriquement, car, quand le point M vient se placer sur l'enveloppe A'OA,B'OB, les deux cercles passant par M se confondent en un seul ; ou bien le point M doit être sur l'axe 0.V

ce qui s'explique facilement, car, par un point Q de cet axe, pas-

EXISTi:.\Li: DE [/INTEGRALE GENERALE '.S:

sent clcu.v cercles du système tangents entre eux en Q : les cuellicients angulaires des tangentes à ces deux cercles, au point Q, sont donc égaux. L'axe des œ est, pour les cercles considérés, ce qu'on appelle un lieu de contact, lieu des points tels que les deux cercles d(3 la l'amille, <[ui passent par un de ces points, soient distincts, mais tangents entre eux au point.

Nous avons ainsi étudié en détail l'équation différentielle des cercles (10) On pourrait remonter de cette équation différentielle à celle des cercles, c'est-à-dire à l'intégrale générale de l'équation dilï'érentielle. Nous ferons ce calcul plus tard, à propos de l'intégration des équations différentielles homogènes.

356. Existence de l'intégrale générale. Méthode graphique. — Nous venons de voir que, si l'on considère une famille de courbes planes dont l'équation dépend d'une constante arbitraire, l'ordonnée d'une de ces courbes, considérée comme fonction de l'abscisse, vérifie une équation différentielle du premier ordir, indépendante de la constante.

Il s'agit maintenant de démontrer la réciproque. Etant donnée une équation di/fére/itielle du premier ordre

il existe une famille de courbes, dont V équation dépend d'une constante y et telle que l'ordonnée d'une quelconque de ces courbes fei((i}'déc comme fonction de l'abscisse, vérifie Véquation différentielle donnée.

Pour démontrer le théorème, nous emploierons d'abord unr méthode graphique, qui peut rendre des services dans la pratique pour intégrer approximativement une équation différentielle.

L'équation différentielle donnée (A) peut être d'un degré quelconque en -4-. Considérons une des valeurs de— 7—, obtenue en

^^•^' . , du . '^-^^

résolvant l'équation (A) par rapport a -j— • soit

cette valeur.

COURS D'AyALYSK

11 peut arriver que cette valeur de -y^ ne soit réelle, que si le point

M [x, y) est situé dans une certaine région du plan. Alors, il est évident que les courbes, vérifiant l'équation, seront nécessairement situées dans cette région. C'est ce qu'on a observé, dans

l'exemple II du numéro précédent, où —j^ n'est réel que si le

point M est situé dans l'un des angles AOA' et BOB'.

Nous allons montrer que, par chaque point M,, (.r,,, //J situé dans la région où la valeur considérée

du .,,

est réelle, il passe une courbe intégrale. Pour cela, remarquons

que -p- est le coefficient angulaire de la tangente au point .r,y

de la courbe cherchée : il s'agit donc de construire une courbe, passant par un point donné M^,, et telle que le coefficient angulaire de la tangente, en chacun de ses points, soit donné par la relation (14).

Tout d'abord le coefficient angulaire ii\ de la tangente à la iTj, courbe cherchée, au point donné M„,

; ,j, est connu ; il a pour valeur

On connaît donc la tangente M^T,, en ce point (fig. 194). Si, sur cette tangente, on prend une longueur très petite M^Mj, on obtient un point Mj, de coordonnées .^„ //p qui est, approximativement, un point de la courbe voisin de M,,. Le coefTicient angulaire //', de la tangente en M, est alors donné par l'équation (14) :

et on peut tracer la tangente M, T, en M^. Si, sur cette tangente, on prend une longueur très petite Mj M,, on obtient un point M,, de cordonnées .r^, ?/g, qui est, approximativement, un point de la

j:ajsj i:ycE de lim kghalk ge.\ei{Ai.k

courbe voisin de M,. Le coefficient angulaire ii\ de la tangente en M^ est alors donné par

et ainsi de suite.

En continuant de cette façon , on construira un polygone MçM, M^..., dont la forme donnera une idée approchée de la forme de la courbe intégrale. On peut démontrer rigoureusement, et nous l'admettrons, que si l'on fait tendre vers zéro tous les côtés M„Mj, MjMj,..., le polygone tend vers une courbe vérifiant l'équîxtion dillerentielle

f>yy)'

On voit, ainsi, qu'il existe une courbe intégrale passant par un point arbitrairement choisi M^, et on a un moyen de la construire approximativement.

Il reste à voir que l'équation générale de ces courbes intégrales contient une constante arbitraire.

Supposons, pour fixer les idées, que l'axe O// traverse la région du plan, où existent les courbes intégrales. D'après ce qui précède, si on prend sur O// un point quelconque A (fig. 195), d'ordonnée

OA=y„

il passe, par ce point, une courbe intégrale C. Cette courbe change de forme et de position, quand le point A se déplace sur O y : son équation contient la constante arbitraire //o-

Si Taxe Oy ne traverse pas la région du plan, où -j^ est réel,

on peut prendre une autre droite D D' parallèle Oy, traversant cette région , et se donner arbitrairement le point B où une courbe intégrale rencontre D D' ; l'équation de la courbe contient alors, comme constante arbitraire, l'ordonnée du point B.

357. Exemples. Premier exemple. — Soit à intégrer l'équatioii difrérenticlle :

(il-

b^niployons la méthode graphique, pour obtenir hi l'orme des courl)es intégrales. Prenons, sur la partie positive de 0//, un point A^ d'ordonnée /y^j, et traçons, approximativement, la courbe intégrale, passant parce point fig. 196, I).

Fig. lyO.

Le coeliicient angulaire // „ de la tangente A T, à la courbe, en A, est positif :

Si on prend, sur cetle tangente, une petite longueur AMj du côlé des ./• positifs , l'ordonnée //, de Mj est supérieure à y^, le coefficient angulaire //', de la tangente M^ T^ en ce point est

cette tangente fait donc avec O .r un angle plus grand que la tangente M^ ï,. Si on prend sur ^[, T^ une petite longueur M^ M,, l'ordonnée y., de M., est plus grande que y^ ; le coeliicient angulaire y'., de la tangente en ^ï^

!h ^ Uv

est donc plus grand (|ue y\ et M^ Tg est au-dessus de M^ T^. On continuera de cette façon et on obtiendra un polygone dont les cotés se relèvent de plus en plus et tendent à devenir verticaux. La courbe intégrale A M ;fig. 190, IL, limite de ce polygone, a

EXISTENCE DE L ISTKGRALE GÉNÉRALE 56i

donc une ordonnée qui croit constamment et indéfiniment : elle présente, vers la droite, la forme d'une branche infinie, dont la tangente tend à devenir parallèle à Oy^ quand y augmente indéfiniment. Il reste à voir si la courbe a une asymptote verticale ou si la branche infinie est parabolique. Or, on peut écrire l'équation (15) sous la forme :

intégrons le long de la courbe du point A au point M : x varie de 0 à X et y de y^ li y :

rd.v=rÉL

y. y (17) a; = log-|-, y=y,e\

Quand y croît indéfiniment, il en est de même de x\ la branche infinie est parabolique. On pourrait, de même, tracer approximativement la courbe vers la gauche.

Dans cet exemple très simple, nous avons une vérification de la méthode, puisque l'équation (17) donne l'intégrale générale de l'équation différentielle, avec une constante arbitraire y^.

Deuxième exemple. — Soit l'équation différentielle

Construisons, encore approximativement, la courbe intégrale, qui part d'un point A de Oy, d'ordonnée y^. Au point A (fig. 196, 1), le coefficient angulaire y\ de la tangente AT^ à la courbe intégrale est positif :

Si on prend, du côté des x positifs, une petite longueur AM,, sur cette tangente, les coordonnées x^,y^ de M, sont supérieures respectivement h celles de A ; le coefficient angulaire y\ de la tangente en M^,

est donc supérieur à y\^ et cette tangente M^ T, est au-dessus

APPELL. Analyse. 36

«le MjTj ; en continuant de cette façon, on obtiendra un polygone AMj Mg — , dont les côtés successifs se relèvent et tendent à devenir verticaux. La courbe intégrale AM (fig. 197) présente donc une branche infinie, le long de laquelle la tangente tend à devenir verticale, quand y j. augmente indéfiniment. Actuellement, cette branche admet une asymptote verticale, c'est-à-dire que a: tend vers une limite, quand î/ augmente indéfiniment. Pour le voir, remarquons que, le long de la courbe, a; est une fonction déterminée de // :

L'équation diflerentielle peut s'écrire :

Fig. 197.

da:

dij

On a donc, le long de la courbe,

da: =

Intégrons maintenant du point A, de coordonnées (0, y^), au point M de coordonnées (j:, y) y nous aurons

La première intégrale est x ; dans la deuxième, la limite supérieure y est supérieure à y^ et le coefficient de dy est moindre

que — J-. D'après un théorème sur les intégrales définies (N**32),

cette intégrale est moindre que

On a donc

rXISTENCE DE L'I.\ I ICI: \I.E GENERALE

Quand y augmente indéfiniment, x croît constamment le long de la courbe, mais il tend vers une limite, car l'inégalité montre

que r reste inférieur à la quantité fixe — . La courbe a donc une

asymptote verticale BD, dont l'abscisse OB est moindre que — •

358. Démonstration analytique de V existence de V intégrale générale. — Considérons une équation différentielle du premier

ordre supposée, comme plus baut, résolue par rapport \x~-:

On peut, en s'appuyant sur la formule de Mac-Laurin, définir, à l'aide d'une série, l'intégrale générale de l'équation. Imaginons une courbe intégrale, passant par le point A de 0/y, d'ordonnée y,,, ifig. 198). Le long de cette courbe, y est une fonction de x qui peut, sauf dans des cas exceptionnels dont nous ne nous occuperons pas, être développée par la formule de Mac-Laurin en une série

;i8) //=//oH-— Z/0+

-yô

y 0 nr "-'^

convergente dans un intervalle symétrique par rapport à 0. Dans ce développement, ^0»^ C--- désignent les valeurs que prennent, pour X = 0, les dérivées successives de y par rapport à x. Nous allons voir que tous les coefficients de la série (18) peuvent être exprimés à l'aide de y„. D'abord on a, d'après l'équation donnée, •

faisant x =0, y prend la valeur y^ et on a

Si, ensuite, on dérive les deux membres de (19) par rapport

56 î COURS D'ANALYSE

\\ r, en se rappelant que y est une fonction de x, on a

Si, dans cette relation, on fait .r = 0, y =^y, y' prend la valeur yi précédemment calculée et y" prend une valeur y'^^ donnée par l'équation (20) ; cette valeur est fonction de î/^.

En dérivantles deux membres de (20) par rapport à x , on a :

cette relation, où on fait x^= 0, y = y^^ et où on remplace î/^, yi', par leurs valeurs précédemment calculées, donne y'o\ en fonction de y^. En continuant ainsi, on calculera autant de coefficients y'o^yoyy'o'"' que l'on voudra de la série (18), en fonction de y^. Cette série définira alors, dans son intervalle de convergence, une fonction y de x^ contenant la constante arbitraire ^/^,

et vérifiant l'équation différentielle : cette fonction est l'intégrale générale de l'équation différentielle.

En limitant le développement aux premiers termes, on a une expression approchée de l'intégrale générale, pour de petites valeurs de x.

Il est évident qu'on peut introduire, dans l'intégrale générale, une constante quelconque C : il suffit d'y remplacer y^ par une fonction quelconque de C :

yc = l(C);

alors y devient fonction de x et C : y=(p(.r, C). • On pourra, de même, à l'aide de la série de Taylor, former l'équation de la courbe intégrale, passant par un point donné [x = Xq^ y = y^), ou, ce qui revient au même, obtenir l'expression de la fonction y de x qui vérifie l'équation difFérentielle et se réduit à //^ pour .c = x^. Cette expression est de la forme

K XISTESCE DK L' I.\T/: G RI L /: G/WÉIiALE ')6"ï

//o, f/o,'", désignant ici les valeurs des dérivées de 7/ pour .r =:./„. Ces valeurs se calculent, de proche en proche, à l'aide des équations obtenues en dérivant une, deux, trois,..., fois l'équation dilférentielle et faisant ensuite x =j-^^ tj^ij^.

La série obtenue converge, dans un intervalle symétrique par rapport à .r^.

Pour certaines positions spéciales du point .v^y y^, les séries peuvent être divergentes : le cadre de ces leçons ne nous permet pas de faire une étude détaillée de ces cas. Nous nous bornerons à remarquer que ces cas exeptionnels se présentent, en particulier, toutes les fois qu'un des coefficients y',), f/i,' ,•-., est infini.