Exemple. — Appliquons la méthode ci-dessus à léqualion
déjà considérée. Si on dérive cette équation, on a successivement
On voit que toutes les dérivées sont égales entre elles et égales il l/. Si donc nous voulons développer l'intégrale générale à l'aide de la série de Mac-Laurin
nous voyons que tous les coefficients //o» I/q)---: sont égaux à t/^ et nous obtenons l'intégrale générale
sous forme d'une série convergente. On voit que l'on a comme nous l'avons vu par un calcul direct.
360. Coefficients indéterminés. — Au lieu de calculer, de proche en proche, les valeurs des dérivées successives ?/J, ^/J^..., correspondant h a: = 0, // = //y, on peut employer la méthode des coefficients indéterminés et essayer de vérifier l'équation différentielle à l'aide d'une série de la forme
En substituant dans l'équation différentielle
et écrivant que les deux membres sont identiques, on obtient une suite de relations permettant de calculer a^, r/^,.--)^» en fonction de y^. Prenons, par exemple, l'équation
En y substituant le développement (22), nous avons
a^ 4- 2a^x -{-'èa^x- -h .. . = j:2 f. ^^^ } ^^^^, | a,,^v- -\- ..,y.
Si Ton identifie les termes contenant les mêmes puissances de .V dans les deux membres, on a
-yl.
d'où on tire, de proche en proche,
On obtient ainsi le développement
EQUA riO\S lyTÊGRAULES PAR DES QUADRATURES 56;
qui donne riutégrale générale de Téquation pour de petites valeurs de .r.
in. ~ TYPES D'ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRE INTÉORABLES PAR DES QUADRATURES.
361 . Premier type. Les variables se séparent. — Soit une équation différentielle de la forme
On peut séparer les variables en mettant, dans un membre, un terme contenant uniquement i/, et, dans l'autre, un terme contenant uniquement .r : pour cela, il suffit d'écrire
On a alors, en intégrant,
où C désigne une constante arbitraire.
Cette, relation donne l'intégrale générale de l'équation différentielle (1).
Exemple. — Considérons l'équation
Cette équation est du deuxième degré en -~ . Pour que les valeurs qu'elle fournit pour —j^ soient réelles, il faut que les
deux facteurs 1 — jv^ et 1 — i/ soient de même signe. Si l'on construit les quatre droites j-^rdzl, y = ±:l, elles forment un carré ABCD (/«g. 199) ; les deux Aicteurs 1— .r' et 1 — y\ sont positifs, quand le point (.r, ?/) est dans l'intérieur du carré ; ils sont
tous deux négatifs, dans les angles opposés par le sommet aux angles du carré ; ils sont de signes contraires, dans les régions indéfinies couvertes de hachures dans la figure 199. Les courhes intégrales sont donc situées dans les régions blanches.
Supposons d'abord 1 — ^-^ et 1 — y^ positifs : nous écrirons, en extrayant les racines,
dx
vr
équation du type (1). Séparons les variables, nous avons dy dx
D'où, en intégrant.
arc sin y =do arc sin :r -f- C.
Telle est l'intégrale générale de l'équation. Pour voir quelles sont les courbes qu'elle représente, prenons les sinus des deux membres : comme on a
sin(arc sin x) = r, cos(arc sin ^) = :± y 1 — x^,
il vient
y = ni X cos
CdiV^l— l'^sinC,
EQUA / lOXS JSTEGRABLES PAR DES QUADRATURES ^69
On peut se contenter de prendre les deux signes -(-, car, C étant une constante arbitraire, on peut, en changeant C en — C, changer à volonté le signe du deuxième terme, et, en changeant G en 71 — C, changer, à volonté, le signe du premier. L'intégrale générale est donc
y = .r cosC -}- V 1 — .r'" sin C,
ou, en rendant rationnel,
(y — X cos C)^ = (1 — jr) sin^C, (2). .r^4-y2— Ir/^ cos C^sin^C.
Cette équation, où C est une constante, représente des ellipses, ayant pour centre l'origine et inscrites dans le carré ABCD ; en posant :
cos C = rt,
on peut l'écrire :
(3) x' + f-2a.ry=i-a\
où la constante arbitraire a est moindre que 1, en valeur absolue. Si nous supposons maintenant 1 — .r^ et 1 — y"^ négatifs, c'està-dire le point X, y placé, en M', dans l'un des angles opposés par le sommet aux angles du carré , nous devrons , pour éviter les imaginaires, écrire l'équation différentielle,
dx ~
et,
en
sépai
•ant les vai
lia blés,
du
dx
Sly'^i Slx^'—i '
l'intégration est immédiate et donne pour l'intégrale générale
log(y + vÇ^^=-r) = log [x ± six' - 1) + D,
D désignant une constante arbitraire. Si l'on passe des logarithmes aux nombres, on peut écrire
570 COURS D'ASALYSE
Pour rendre cette intégrale rationnelle, remarquons qu'on peut l'écrire aussi
car, en multipliant membre à membre les équations (4) et (5)^ on obtient une identité 1=1. Ajoutons les équations (4) et (5), il vient
y = x—^ diV/.r^— 1 ^
ou, en isolant le radical, élevant au carré et réduisant,
(6) X- -i-r— 2.ry ^ = 1 — (^ j .
Cette équation, dans laquelle on (ait
prend la forme déjà trouvée (3) avec cette différence que maintenant a est supérieur à 1. Elle représente des hyperboles tangentes aux prolongements des cotés du carré. En résumé, l'intégrale générale de l'équation
est
a désignant une constante arbitraire qui est inférieure à 1, quand 1 — x^ et 1 — y- sont positifs, supérieure à 1, quand 1 — x^ et 1 — //' sont négatifs. Par tout point M (.*', y), pris dans le carré ABCD, passent deux courbes intégrales qui sont des ellipses; par tout point M', pris dans les angles indéfinis, passent deux courbes intégrales, qui sont des hyperboles (/?^'. 199).
Remarque. — On peut passer également de la forme (2) de l'intégrale générale à la forme (G), en supposant C imaginaire et posant :
É Q UA ri (f y > / V / /; ^ /M /; l KS PAU DES QUADRATURES "i; en rfU'l, ou a alors (X*^ 108)
cos C -= cos iD = 7^ ,
siii C =^ sin il) =:
Le fait, qui se présente ici, est général. Lorsque les courbes intégrales, trouvées par un certain procédé de calcul, restent réelles quand la constante arbitraire qui s'est introduite prend des valeurs imaginaires, les nouvelles courbes ainsi obtenues sont encore des intégrales de l'équation différentielle, puisque cette équation se déduit de l'intégrale générale par l'élimination de la constante.
362. Deuxième type. Équations homogènes. — Une équation différentielle homogène du premier ordre est de la forme
Cette équation est dite Jioinogène^ car elle ne change pas quand on remplace x pas kx et tj par Ay, k désignant une constante quelconque.
On la ramène au type précédent, en faisant le changement de fonction
JL —-
d'où
(8) y^xz.
Il est évident que, pour connaître y en fonction de x^ il suffît de connaître z en fonction de ./ . Comme on a, d'après (8),
dx '^ " dx l'équation différentielle proposée devient
Les variables peuvent alors se séparer et on peut écrire
dz dx
d'où, en intégrant,
dz
Cette relation donne l'intégrale générale de l'équation (9). En
yremplaçant, après l'intégration, :: par -^, on a l'intégrale gêné-
raie de l'équation (7).
Exemples. — Soit l'équation
Cette équation, ordonnée par rapport à -—f—^ s'écrit D'où ^
dx .'^y ~ 3 V V // /
Cette équation est une équation homogène. Faisons y:=xz et prenons le radical positivement, l'équation devient
ou, en séparant les variables et intégrant,
(11) r '^''^'\ ^log.r-logI),
D désignant une constante arbitraire. Pour ellcctucr la quadrature, faisons
KQr.lTfO.ys IS TÉGHABI.KS PAR DES QUADRATCRKS S;!
d'eu
— 3 zdz = iidu .
L'intégrale du premier membre devient
— uda r du , ,
c'est-à-dire
— log(v^r=3? + 2).
L'équation ^ il) s'écrit donc
logfyi — Sz' -f-2) =log X — log D, ou, en passant des logarithmes aux nombres, ar{\/i—3z' 4- 2) = D.
Il reste à remplacer z par — : on a ainsi :
OU, en rendant rationnel,
(12; 3(.r2 + if) — . 4 Dr + D^ = 0.
Telle est l'intégrale générale de l'équation (10), avec la constante D. On voit que les courbes intégrales sont des cercles. En faisant un changement de notation et posant
nous pouvons écrire l'intégrale générale
:r^-hr — ^C.r-i-3C2-=0, ou
Nous retrouvons ainsi les cercles, dont nous sommes partis dans l'exemple II du N® 355 pour former l'équation diirérentielle que nous venons d'intégrer.
Exercice. — L'ëquation homogène
a pour intégrale générale
x^ — iCy 4- C2 =1 o,
C désignant une constante arbitraire.
Remarque. — Les courbes^ représentées par V intégrale générale d'une équation différentielle homogène^ sont homothétiques de l'une quelconque d'entre elles par rapport à l'origine.
En effet, soit AB, une courbe satisfaisant à l'équation
M(.r, y) un point de cette courbe (fig. 200). Construisons la courbe A^Bj, homothétique de AB par rapport au point O. Les coordonnées du point M^ [po^^y^) de cette courbe, homologue de M, sont données par les équations :
/• désignant une constante. On a donc
dx^ == kdx^ dy^ = kdy,
dx^ dx x^ X *
l'équation (13), supposée vérifiée, entraîne donc
<hi
dx. , ^^
et la nouvelle courbe A^B, vérifie la même équation, quel que soit A*.
La proposition est donc établie.
Par exemple, les cercles trouvés plus haut
(,r — 2C)^-f-;/ — C^=0, sont homothétiques de l'un d'entre eux par rapport à 0.
KQi'ATIOyS ISTi:r.RABLES PAR Dr S QIADRATURES j;!
