Troisième type. Équations de la forme
a y byC, a', //, c' désignant des constantes.
On peut rendre homogène une équation de ce type, en portant l'origine au point de rencontre des deux droites obtenues en égalant h zéro les deux expressions a:v-\- bi/-\- c et a' x -\- h' y -\- c' . En effet, appelons a et [^ les coordonnées du point de rencontre de ces deux droites : on a
Faisons alors le changement de variables :
qui revient à transporter les axes au point (a, P) : il vient (Lv=dj^, dij = dy^
et l'équation devient
dy, n( a-^i -+- l>!h \ dx, '\a'x,-^h'yj'
ce qu'on peut écrire
Le deuxième membre étant fonction du seul rapport --—, on est ramené à une équation homogème, que l'on peut intégrer, en faisant
Cas exceptionnel. — La méthode précédente suppose que les droites obtenues en égalant à zéro les deux expressions a:v -\rby-\-c et a'x + b'y -\- c' ne sont pas parallèles. Quand elles sont parallèles, on a
a~ h ~^'' \ désignant une constante. L'équation proposée s'écrit alors
dy ^A ax^hij-\-c 1
dx ' L \{ax-\-by)-\-c' \
Dans ce cas, on conserve la variable x et on pose
ax^hij^y^, y^ étant une nouvelle fonction de x. On en déduit
y^'-f^Ui — ^^)^ dy 1 dy^ a
dx b dx b
et l'équation devient
1 dy.
b dx où les variables se séparent quand on résout par rapport à dx.
Exemple L — Soit à intégrer l'équation
(15; [2x H- 3y + i)dx + (3^- 4- 4// + i)dy == 0.
De cette équation, on tire
dy 2.r-f-3//-hl dx 'Sx -\- ^y -\- i ^
: est donc une fonction du rapport de deux expressionis linéaires en x et y.
/■:of iT/o.ys lyir.GiiAiiLEs par des QIADRATL HES 5;;
l)«'t«'i iniiiDiis les nombres a et ^3 qui annulent ces deux expressions :
on trouve
Faisons alors
(16) .f==.rj+l, y:^y^l,
l'équation devient
rf.r,
équation homogène. Posons :
nous avons l'équation
dz
et, en séparant les variables.
Dans le deuxième membre, le numérateur est la difTérentiellc du dénominateur ; on a donc, en intégrant,
2 log .r, = log ( l + ^z + 2c») + log C ;
ce (ju'on peut écrire
log:rî(H-3c + 2c») = logC, d OÙ
Telle est l'intégrale générale de l'équation. Revenons d'abord
aux variables .r, et y, en remplaçant z par — ^, l'intégrale trouvée
devient :
APPELL. Analyse. 87
Si, enfin, on revient aux variables x ci y parles formules (16), ^j = .r— 1, ?/^==ty+l,
on a rintégrale générale de Téquation proposée (15), sous la forme
Vérification. — Dans cette équation (15), le premier membre est une diflPérentielle totale exacte , car la dérivée du coeHicieiit de dx, par rapport à y, est égale à la dérivée du coefficient de dji par rapport à x. La théorie des difFérentielles totales a deux variables (N° 318) nous montre alors que l'équation peut s'écrire
La fonction soumise à la difl*érentiation est donc constante, le long d'une courbe intégrale ; ce qui donne l'intégrale générale (18).
?]xEMi>LE 11. — Soit à intégrer l'équation :
dx \ Ix — 2y + 1
Actuellement, les deux droites obtenues, en égalant à zéro le numérateur et le dénominateur, sont parallèles : les coefficients de .r et y sont proportionnels, dans les deux termes du rapport. Nous ferons alors :
l'équation devient
ou, en séparant les variables,
ÉQUATIONS ISTÈGRABLES PAR DES Ql ADRATURES 379
Pour intégrer le deuxième membre, on décompose la fraction lationnelle, en //,. on fractions simples. On a ainsi :
ou, cil revenant aux variables .r et y par la substitution
et réduisant, après avoir chassé les dénominateurs,
8// — 2.r — log ix — y) + 9 log (.V — y -h 2) = C,
('/ désignant une constante arbitraire.
On a ainsi l'intégrale générale de ré({uation (19).
364. Quatrième type. Équations linéaires. — Une équation difVérentielle linéaire du premier ordre est de la forme :
dy
on la nomme linéaire, car elle contient linéairement 11 et —j
Pour intégrer une équation de cette nature, posons
(21) - y=nz,
où - est la nouvelle fonction inconnue de .r et « une fonction auxiliaire de .^', dont nous disposerons, de façon à simplifier l'équation en -:. Par la substitution (21), l'équation devient
(22) /•(x)[«-^ + .^]+„.=(.r)=.iW.
Disposons maintenant de ?/, de façon à annuler le coelficient de zi il suffit, pour cela, de prendre, pour //, une fonction particulière vérifiant la condition :
58o COURS D' lyALYSE
qui donne ;
du o (.r) ,
et, en intégrant,
log u^ — / t.;' ( dx.
La fonction u étant déterminée par cette relation, l'équation (22 devient
où « est maintenant connu en fonction de r. On en déduit :
Us, ,. V uu ,
ut[x)
En revenant à la variable y, par la substitution i/=:iiz, on l'intégrale générale de l'équation linéaire (21)
avec une constante arbitraire C.
Exemple. — Soit à intégrer l'équation :
(23) 4^ /==cos.r- 1.
ctjc sinu;
Faisons y = uz : nous avons
dz , du uz .
u —j 1- z —. -; = cos .r — 1 .
dx ajc sin^r
Déterminons u de façon à annuler le coellicient de 3 :
dx s\\\x '
du dx
u sin X
log// = logtang-y
/\;r.l//o \ s l.\ I KGRAIiLES PAR DES QUADRATURES 58i
Il csl imitlli' d'ajouter une constante, car nous ne voulons pas la l'onction la plus générale annulant le coefficient de ^; une déti'rininatiou particulière de // nous suffit. En passant des loga- I lllunes aux nombres, on a
i/ = tang-;T —
L'équation en 3 devient alors
- cos X — 1 , dz ==: dx ;
tang^
ou, «Ml remplaçant 1 — cos x par 2 sin^-^,
dz = — 2 sin -^cos-j^ dx.
En intégrant, on a
Comme on a posé y ■= uz^ on a, enfin, pour l'intégrale de l'équation proposée,
tj^=2 tang -ly-c^^' -ij- -h C tang-^- ,
sin -^
ou encore, en remplaçant tang -^r- par -^ et réduisant,
cos^
y = sin X + C tang
Il est facile de vérifier que cette fonction rend identiques les deux membres de l'équation proposée (23).
