Cinquième type. — Soit une équation de la forme
5K.i COURS D'ANALYSE
OÙ n est un exposant constant quelconque. Une pareille équation se ramène h une équation linéaire.
Kn effet, on peut l'écrire, en divisant par y" :
ce qu'on peut écrire
L'équation prend alors la forme linéaire si l'on y considère ^ ~" comme l'inconnue :
On a, en effet,
équation qui est linéaire.
Le calcul précédent est en défaut, quand /« = !, mais alors l'équation proposée s'écrit :
et les variables se séparent.
Exemple. — Soit l'équation
(24) j:-£.^y^yn0^.f.
Divisons par y^\
En posant d'où
•' dx ~ dx '
/ i^ir A / n> \> i.\ i i.c KAii i.i.s i' \n i)i:s qi adratuhes ■>« nu «'st laniriit' :i rô(jiiali(Mi liin'airr
d—i h V=:loor.r.
losoiis îilors il vient
/ dz du \
Ammlaut le coeHicieiit de r, on a
du
dx
au as
l*oin- v«'rifi«'r cette équation, il suiTît de prendre
logw = log.r, n=x.
On a alors, pour déterminera, la relation
, dz
th = ——^log.,d.i;
Celte intégrale s'obtient faeilement, par l'intégration par parties : on peut l'écrire
Donc
il 1 „
z = log .r H h C.
Alors :
Y = jcz = log .1' -j- 1 -}- Co:,
et, comme
log v + 1 -f- C^-
C'est là l'intégrale générale de Téquation (24), avec une constante arbitraire C.
IV. — INTÉGRALES SINGULIÈRES DES ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRE ÉQUATION DE GLAIRAUT
366. Intégrales particulières et intégrales singulières. — Etant donnée une équation différentielle du premier ordre
('• - ih
nous avons vu que l'intégrale générale de cette équation est définie par une relation
contenant une constante arbitraire. Géométriquement, on peut dire que l'intégrale générale représente une famille de courbes planes, dépendant d'une constante arbitraire.
Quand on donne à la constante C une valeur numérique, on obtient une intégrale, qui prend le nom à' inlégrale particulière. Par exemple, l'équation
étudiée au N" 301, a pour intégrale générale
(2) .r^ — 2axij + //" = 1 — rt% a désignant une constante arbitraire.
i\ I i.r.n AI i.s s/\<;/ /j/:/!/:^ /// s /:ui.\/i()\s m r/uMfrn ohdue 585
Si ou cloiiiH' il (I iiiK' xaleur numérique, <7 = 3 par exemple, on ;i iMH' courbe particulière
vérilianl réipialion (liflerentielle : c'est une inlcgrale particulière. Si on lait // —1, on a une autre intégrale particulière
on
(jui esl repi'éseiitée par une diagonale du rectangle ABCD
On appelle intégrale singulière d'une équation dift'érentielle toute solution de Téquation. qui n'est pas une intégrale particulière. De telles solutions n'existent qu'exceptionnellement. Par exemple^ l'équation (1) que nous venons de rappeler admet la solution
représentée, sur la figure (199), pour un des cotés du carré ABCD. Cette solution ne peut pas être obtenue, en particularisant la constante a qui figure dans l'intégrale générale (2) : c'est donc une intégrale singulière .
367. Théorème. — Quand les courbes représentées par l'intégra le généra le
il' une è(jua(ion (lilJérentielle
ont une enveloppe, cette enveloppe est, elle-même^ une intégrale de C équation différentielle; c'est, en général, une intégrale singulière. En effet^, soit E {fig. 201^, l'enveloppe des courbes (3) : prenons un point M (.r, y) sur cette enveloppe ; appelons
rf,,
COURS D'ASALYSE
le coefficient angulaire de la tangente Mï à Tenvcloppc, </,//et ^j.r désignant les difFérentielles des coordonnées correspondant à un déplacement infiniment petit sur l'enveloppe.
Par le point M, il passe une courbe G, représentée par Téquation (3), et cette courbe est tangente à l'enveloppe, en M : cette courbe G étant une courbe intégrale, l'équation dilï'érentielle est vérifiée, tout le long de cette courbe, et, en particulier, au
point M ; de sorte, qu'en appelant -y— le
coefficient angulaire de la tangente MT à la courbe G en M, on a
Fîg. 201
Mais les deux courbes E et G étant tangentes en M, on a
dy dx
di.v
On a donc aussi
et cela, pour tous les points M de l'enveloppe E : cette enveloppe est donc une courbe intégrale.
Exemples. — 1** L'équation
a pour intégrale générale
a:^ + //" — 2 a Al/ = 1 — ir,
a étant une constante arbitraire. Quand a varie, les coniques, représentées par cette équation, ont pour enveloppe la courbe
ou
i.\ I i:(,iiM.i s si\(.i I ii.Ki.s DIS i:qrAii(t.\s /ji ritiMir.n okuiii: jS; i\\\\ se compose des quatre droites
.t = =hl, //— -=tl,
rorniaiit les côtés du carré ABCD [fig. IDD^. Ces quatre droites sont des cour])es intégrales, comme on le voit en écrivant l'équation
|)our.r=it:l, les deux membres sont nuls ; de mènie, pour //=iiil. On a ainsi quatre intégrales singulières.
2 ' L équation diflerentielle homogène du N° 302 : a pour intégrale générale
.f-i 4 if 4(:r ! 3C'^ =:: 0.
Quand C varie, les cercles, représentés par cette équation, ont pour enveloppe les deux droites
ou
11 est aisé de vérifier que chacune de ces droites est une courbe intégrale. Par exemple, en substituant, dans le premier membre d<^ l'équation différentielle, la fonction
on obtient un résultat identiquement nul.
368. Sixième type. Équation de Clairaut — On appelle équation de Clairaut une équation diflerentielle de la forme
^'-i-ih"'
dif Supposons qu'on résolve cette équation par rapport a y — x -f— '
on pourra l'écrire :
en employant la notation des dérivées. Nous allons intégrer cette équation (4). Pour cela, dérivons le premier membre par rapport à X : nous aurons
y':=xy"^y'^f[y')if,
ce qui peut s'écrire :
On voit alors que les fonctions y de x, vérifiant l'équation, sont telles que l'un des facteurs du produit précédent soit nul. Supposons d'abord
alors
et, comme la fonction doit vérifier l'équation (4), on a^ en y remplaçant i/' par C,
(6) y^Cv+fiC).
C'est là l'intégrale générale : elle est constituée géométriquement par des droites. On vérifie, immédiatement, que la fonction (6) rend identiques les deux membres de l'équation proposée.
Supposons maintenant que la fonction y annule l'autre facteur du produit (5)
Comme cette fonction doit vérifier aussi l'équation donnée, on l'obtiendra en éliminant l'inconnue auxiliaire y' entre les deux relations
L'équation entre x et y ainsi obtenue donne une intégrale singulière de l'équation différentielle. La courbe représentative de
