IV. - CHANGEMENT DE VARIABLE DANS UNE INTÉGRALE DÉFINIE SIMPLE

36. Changement de variable. — Soit une intégrale définie Sup[)osons (ju'on exprimer on (onction continue d'une variable /

de telle façon que / variant de a à p, .r varie de a à ^, sans passer

FOSCTIONS PHIMITIVES. lyTEGRALE DÉFI ME SIMPLE hj

j>;ir rinfini ni par aucune valeur pour laquelle /'(.r) cesse d'exister. Nous allons démontrer que l'intégrale proposée est égale à la

siii\aiite ;

obtenue en remplaçant, sous le signe d'intégration, j- par tj; (/), djc |)ar la différentielle V if)dt de '} (/), et en mettant les nouvelles limites a et ,3.

Pour démontrer cette règle, nous ferons d'abord deux hypothèses restrictives que nous ferons disparaître ensuite. Supposons : 1** que / variant de a à p, la dérivée ^' it) ait un signe constant de telle façon que

vai'ie toujours dans le même sens àe a\\h]2^ que la fonction

conserve également un signe constant quand / varie de a à ^. Intercalons, entre a et fi, [n — i) valeurs de t

^, tv .^

rangées par ordre de grandeur de a à |^ ; à ces valeurs, la formule .r = 'l /), fait correspondre n — 1 valeurs de x.

rangées, de même, par ordre de grandeur de rt à ^.

La première intégrale (1) est, par définition, la limite de la somme d'infiniment petits tous de même signe

(.r. - a)f{a) + [x,- x,) f{x,) +... + (ft - .r„.)/-(^,.,) ;

la deuxième intégrale (2) est, de même, la limite de la somme :

D'après le deuxième théorème fondamental (n® 4), pour

6o COVRS D'AyALYSE

démontrer que ces deux sommes ont la même limite, il suffit de montrer que le rapport d'un terme de la première somme au terme correspondant de la deuxième a pour limite l'unité. Or, un terme de la première somme est de la forme.

el le terme correspondant de la deuxième

A X étant l'accroissement de x correspondant à l'accroissement A / de t. Le rapport de ces deux termes peut s'écrire

comm.r X = ^ [f)y ce rapport tend évidemment vers 1, quand A / tend vers zéro, puisque — ^ tend vers la dérivée '\' [t).

\jVk règle est donc démontrée.

Nous avons fait deux hypothèses restrictives. Pour les faire disparaître, supposons d'abord que, /*[•} (/)] restant de même signe quand / varie de a à j3, ^' [t) n'ait pas un signe constant, ou, ce qui revient au même, supposons que x^^'l[t) ne varie pas toujours dans le même sens.

Admettons, par exemple, que, / croissant de a à y, :r croisse de a à r, puis que, t continuant à croître de v à p, x décroisse de c h /». La formule s'applique alors séparément à chacun de ces intervalles : on a

£f{.,)d.c=£f\:m'V{i)di, r'/-(.r)rfx = fV['tW]|'(')rf';

en ajoutant, et appliquant le théorème sur le fractionnement de l'intervalle d'intégration, on a

jy[x)dx=fj\^{i)\'V[i)di.

FoycTioys riiiMiTivEs. i.\tégrale déi i.\n: simple <ii

On lî'vcra, de niômc, la deuxième restriction en divisant l'intervalle (a, p) en intervalles dans lesquels /'[•!; (/) ] conserve un signe constant.

37. Applications. ±^ Aire d'une demi- ellipse. — L'é([uation de Tellipse étant

'arc supérieur ABA' est représenté par l'équation (fi*(. 16).

obtenue en résolvant par rapport à // et prenant la racine positive.

o Fi g. iC.

L'aire de la demi-ellipse est alors

A= / — t/rt^ — x^ d.v, J a

.V variant de — a (point A) l\ -{- a (point A). On a donc, en faisant sortir le facteur constant - du signe d'intégration,

A = — / Va' — j;' cLv.

Faisons le changement de variable

X =a cos /,

/ variant de r à 0, a: varie de — a l\ -\- a. Alors

Va^ — x^ = a sin /, dx = — a sin / dt

COURS D'AN.iLYSE

A = j a- sin^ / dt = ahj siii^ l dt,

en se rappelant qn'on peut intervertir les limites d'intégration condition de changer le signe de l'intégrale, domine on a

1 — cos 2 / sm / = r; ,

on peut écrire

, r- { dt cos2 tdt\

Une des valeurs de l'intégrale indéfinie est

t sin 2 /

et l'intégrale définie est la différence des valeurs de l'intégrale indéfinie pour /=7:et ^ = 0, c'est-à-dire :j. Donc

Tzah

2" Aire de la cycloïde. — La cycloïde est la courbe engendrée par un point d'une circonléieiice qui roule, sans glisser, sur une

Fig. i;.

(Irniic li\r. Soit une circonférence de laxoii u roul;mt sans «•lisscisui- un a\c i\\r D r et soit M le point de la circonlérence qui décrit la courbe ; la circonférence roulant sur la droite, prenons comme origine le point O où le point M a touché l'axe dans le rcmlrmciil. .l(>it;iiniis !»• cfiitrc (". du cercle au point de contact 1 et au \)tn\\[ M cl appelons n langle KIM dont le cercle a touiné

FOyCJlOy.S primitives. lyTÉGItALE DÉFISIE SIMPLE 6î

depuis rinstaiit où M était en O. A cause du roulement, la longueur 01 est égale a l'arc YS\ c'est-à-dire à a u. L'abscisse de M estOl — IP :

:vz= a [u — sin //; ;

l'ordonnée est CI — CQ :

y= a il — cos //).

Pour avoir la cycloïde complète, d'un point de rebroussementO à l'autre O , il laut faire varier .r de 0 à 27:<7. ou u de 0 à 2t,. Donc l'aire totale est

X = [>jd.c.

Changeons de variable en indroduisant la variable u ; on a cLv =z a {\. — cos u) du et les nouvelles limites sont 0 et 2 t: :

A = <7^ I fl — COS // - du.

,,1-1- cos 2u Développant le carré et remplaçant cos - u par ^ , on a

kr=^a- \ [—z 2cosz/-) :^ )du.

L'intégrale indéfinie est

3 ,^ . sin 2 // -^ u — 1 sin u -\ ^ ;

la différence des valeurs qu'elle prend pour u = 2t. et u = 0 est 'St:. Donc

A = 3 Tza- ;

l'aire de la cycloïde est donc égale ii trois fois Taire du cercle générateur.