INTÉGRALES SINGULIÈRES DES ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRE
cette intégrale singulière est l'enveloppe des droites (6), qui constituent l'intégrale générale. En effet, pour obtenir l'enveloppe des droites (6), quand C varie, il faut éliminer C entre l'équation (6) et sa dérivée par rapport à C :
L'élimination de G, entre ces deux équations, conduit au même résultat que l'élimination de //' entre lesdeux équations (7), car le deuxième groupe d'équations ne difiere du premier que par la substitution de C à y'.
Exemple. — Soit un point fixe F sur Taxe 0^ {fig. 202) : trouver une ligne telle qu'en menant la tangente en un quelconque M de ses points et joignant au point F le point T où cette tangente coupe Oy, l'angle MTF Fig. 202.
soit droit.
Appelons a l'abscisse constante du point F. L'équation de la tangente, en M, étant :
Y-y = y(X x), le point T a pour coordonnées
X = 0, Y=y-.iy; le point F a pour coordonnées
Le coefficient angulaire de TF est donc
celui de MT est y'. Écrivant que ces directions sont rectangulaires, on a
590 COURS D'A i\{ LYS f:
d'où réquation de Clairaut
L'intégrale générale s'obtient en remplaçant 1/ par (1 : oîl<' est représentée par des droites :
Ces droites sont les perpendiculaires indéfinies TMi) élevées par les divers points T de O// aux droites TF : chacune de ces droites répond à la question; c'est une ligne telle que la tangonte, en un point quelconque D de cette ligne (tangente qui se confond avec la droite), possède la propriété de l'énoncé.
Mais l'équation différentielle admet une autre solution (intégrale singulière), qui est la courbe enveloppe des droites (10). Pour avoir cette enveloppo, il sullit d'écrire que l'équation 1 10) en C a une racine double, ce qui donne
//■ — \((.v ■^-■~ 0, équation d'une parabole de foyer F et de sommet ().
Rkmaiiqie. — On est conduit à une é([nation de (llairaut, toutes les fois qu'on cherche une courl>e plane, dont les tangentes possèdent une propriété, dans l'énoncé de laquelle ne figure pas le point de contact. L'intégrale générale est alors formée par les droites du plan qui possèdent la propriété en question, et l'intégrale singulière est l'enveloppe de ces droites.
369. L'intégrale singulière déduite de Véquation différentielle. — D'après ce (jui précède, si l'intégrale générale d'une équation du premier ordre
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a une enveloppe, ({uand la constante arbitraire varie, cette vwwloppe est une intégrale singulière de l'équation. Mais, pouiobtenir ainsi des intégrales singulières, il l'aut connaître l'intégrale générale. Il est utile d'avoir une méthode pour trouver
IMI.C.Ii ALKS SISGVLIERKS DES EQUATIONS DU PREMIER ORDRE Sgi
(linM Irmeiit l<?s intégi'iiles singulières, quand elles existent, à raido de la seule équation difFérentielle et sans connaître l'intégrale générale. Voici , à cet égard, la règle que nous allons déiiKMitici' :
.S V7 existe des intégiales singulières, enveloppes des intégrales gènèrdles, elles se trouvent parmi les courbes obtenues, en èlimirninarU v t'nlre l'équation différentielle
et Véfjuation dérivée par rapport à v
c'est-à-dire en exprimant que V équation différentielle, où on regarde \' comme une inconnue, admet une racine double.
En etFet, l'équation différentielle, où on regarde y' comme l'inconnue, donne les coefficients angulaires des tangentes aux courbes intégrales, passant par un point V[.v,ij) du plan. Supposons que les intégrales générales aient une enveloppe E [fîg.20\.)', ([uand le point P est voisin de l'enveloppe, parmi les courbes intégrales générales, passant par P, il s'en trouve deux, G et G', très voisines l'une de l'autre, de sorte que les coefficients angulaires des tangentes, en P, à ces deux courbes ont des valeurs très voisines; quand le point P tend vers un point M de l'enveloppe, les deux courbes G et G' se confondent en une seule G, tangente, en ^I, à l'enveloppe et les deux coefficients angulaires des tangentes, en P, deviennent égaux entre eux et égaux au coefficient angulaire de la tangente en M.
Donc, si le point M [x, ij) appartient à Tenveloppe des intégrales générales, l'équation
où y est regardée comme l'inconnue, admet une racine double.
La proposition est donc démontrée.
Mais la réciproque n'est pas exacte. Un point M (,r, y), tel que l'équation F (.»-,//, y) =0 ait une racine double en y', n'est pas nécessairement un point de l'enveloppe des intégrales générales.
Ce peut être un point tel que, parmi les intégrales générales passant par ce point, il y en ait doux distinctes, G et G', tangentes entre elles {jig. 203, I). Ce peut être aussi un point M tel que, parmi les courhes intégrales j^énérales passant par ce point, il y
en ait une présentant, au point M,
un point singulier avec deux tan- M^/" ^G* ^"^""^^-^ goûtes confondues, un rel)rousse-
luent, par exemple ifig. 203, II).
Fig. 20). D'après cela, si on cherche le
lieu des points (r, //\ pour lesquels l'équation F (jr, y. //') = 0 admet une racine double en y', on trouve à la fois ; V l'enveloppe des intégrales générales, quand elle existe; 2" le lieu des points, par lesquels passent deux courbes intégrales distinctes tangentes, lieu qu'on appelle lieu de contact ; 3° le lieu des points singuliers, à tangentes confondues, des intégrales générales.
Pratiquement, pour obtenir l'intégrale singulière enveloppe des intégrales générales, quand elle existe, on commence donc par chercher le lieu des points (.r, y), pour lesquels l'équation différentielle admet une racine double en ij\ c'est-à-dire qu'on élimine y' entre les deux équations :
Soit
le lieu obtenu : en général, le premier membre de celte équation se décompose en plusieurs facteurs, et le lieu, en plusieurs courbes distinctes. La solution singulière cherchée se trouve parmi ces courbes ; on la reconnaît, en essayant successivement ces diverses courbes et en voyant lacpielle d'entre elles vérifie l'équation différentielle. Cette courbe spéciale est, en général, une intégrale singulière. Les autres courbes trouvées sont des lieux de contact ou des lieux de points singuliers.
Il peut arriver qu'aucune dés courbes ainsi obtenues ne \« ri(ie l'équation différentielle, il faut en eonclin<' (|iie rinl.'giale g^nerale n'a pas d'enveloppe.
L\ I i.(.i{ \i.i:s sLMi ijèuks des équatioss du j'iuîmieu onuni-: jyî
KxEMiM.Ks. — l" In pK'init'i' exemple simple est rouriii par ré(|iiation (Uirérontielle
lonnéi' (l;ius le N*^ 356, et déjà prise comme exemple clans les N .>(>i et 3()7. Kn cherchant le lieu des points, pour lescpiels eriir .'(juation en //^ aune racine double, on trouve
(]c li«'ii se décompose en trois :
Les deux premières fonctions vérifient l'équation ; ce sont des intégrales singulières. La troisième y = 0 ne la vérifie pas : elle définit un lieu de contact, comme nous l'avons vu page 557.
2" Soit ré([uation différentielle
lin éerivant que cette équation du deuxième degré en i/., a ses racines «gales, on a la condition
Le lieu, ainsi défini, se compose de trois droites :
fa première l'onction ^ -^ 1, vérifie l'équation, car, si on substitue // y~ 1, on a //' = (); on a ainsi une intégrale singulière.
Les fonctions fj^=^0 et t/ = ^ne la vérifient pas : nous allons
voir ([ue l'une définit un licfi de points de rehroiissement de fin-
APPEi-l- Analyse. 38
tégrale générale et l'autre, un lieu de contact . Pour cela, intégrons l'équation différentielle. Kn remplaçant y par-^^, on peut séparer les variables et écrire :
di
-v/iéy
dIJ.
])'où
On vérifie, sans peine, que l'intégrale indéfinie du deuxième membre est
on a
donc
OU, en rendant rationnel.
Telle est l'intégrale générale de l'équation. Quand C varie, la courbe représentée par cette équation ne change pas de forme :
elle se transporte, parallèlement à elle-même, le long de l'axe O.r. Construisons la courbe obtenue en faisant C = 0 : cette courbe (fig. 204) a un rebroussement, en O, avec tangente verticale ; le point le plus haut A correspond à o^- = 0, // = 1 ; les points B etB', à tangentes verticales
Fig. 204.
ont pour coordonnées x
y ^=^-j-' Quand C varie, c'est-à-dire quand cette courbe se transporte le long de 0.r, sou enveloppe est la droite AA', y = l (intégrale singulière) ; le lieu du point de rebroussement est l'axe O.r, ?/ = 0; enfin le lieu des points M, où deux positions différentes de la courbe peuvent être tangentes, est la droite BB',
y = -j- (lieu de contact).
m: MAHorrs si n /./•; c/n xc /: m /: \ / hi: \Ani\iiLES "ig'»
