V. - REMARQUES SUR LE GHA.NGEMENT DE VARIABLES

370. Échange de la fonction et de la variable indépendante. — Dans ce qui précède, nous avons constamment considéré ij comme la fonction et .r comme la variable indépendante. Mais il va de soi que , dans une équation difterentielle,

on peut considérer x comme la fonction et // comme la variable indépendante.

Par exemple, l'équation

où on regarde ij comme la fonction inconnue, ne rentre dans aucun des types que nous avons indiqués. Mais, si on y regarde x comme la fonction et y comme la variable, on peut l'écrire, en

, . ,. dv

multipliant par -^— ?

dy

et Ton a une équation linéaire^ car elle est linéaire par rapport à la fonction inconnue et à sa dérivée.

Pour l'intégrer, on suivra la méthode générale indiquée, on

fera

X = uz^

a étant une fonction auxiliaire de y, et -, la nouvelle fonction, inconnue. L'équation devient

dz ^ du ISA

dy dy

Déterminons u de façon à annuler le coefficient de z :

du ^

dy

OU bien

(lu j

en. intégrant, il suffit de prendre, sans ajouter de constante, log« = — //, u = e~'''.

L'équation devient alors

clz = — y^e'^dy^ z=-f,feydy + C.

Va\ intégrant par parties, on a :

Çtfe''dij=^Çy^dey = y^e^-^ 3 Çy^e^dy,

Jy'eydy=fi/dey = ?/ey — 2jyeydy,

j'y e"dy =fydey = yey — JeVy ,

Çeydy=^ey.

On a donc, en remontant de proche en proche,

fy\-'dy = e%f - ^y'+Gy - 6).

Comme on a posé a; = uz, on a enfin, pour l'intégrale générale de l'équation diflerentielle donnée,

^■ = 6^6y-\-3y'^y'-hCe-y.

371. Septième type. Equation de Clairaut généralisée, — Soit une équation de la forme :

qui se réduit à l'équation de Clairaut quand o(^y') = y'. Prenons encore les dérivées des deux membres par rapport à j; : il vient :

REMARQUES SUR LE CIIA\Gi:MEyr DE VARIABLES h,;

Si, dans cette équation, on regarcK' .r comme la lonclion inconnue et //' comme la variwhle, c'est une équation linéaire.

Il sullil (1 intégrer cetto nouvelle équation, puis de remplace i // par la valeur ainsi trouvée, en fonction de .r, dans l'équation (12i, pour avoir l'intégrale générale de cette équation.

372. Changement de variables en général. — Ktanl donnée une équation dillerentielle

on peut essayer de la simplifier, en prenant de nouvelles vai iables u et p, liées à .r et ?/, par des relations de la forme :

Le long d'une courbe intégrale, .r et y peuvent être regaiclts comme fonctions d'un même paramètre t ; les formules (14, résolues par rapport à u et v,

montrent que u et ^> sont également des fonctions de ce paramètre. On a donc, d'après (14), en faisant varier ce paramètre de dt^

ou o^>

du = --^dii H--r-^— ai>.

En portant les valeurs de x^y^dx^dij dans l'équation différentielle, on la transforme en une équation diflerentielle entre u et r. Si l'on sait trouver l'intégrale générale

de cette équation, on en déduit l'intégrale de la proposée, en y remplaçant u et s> par leurs valeurs (15).

Exemple. — Soit, par exemple, l'équation

(16) (^'4-^') ixdx-\-xjdy)^{,t'-\-y'^x) {xdy^ydx).

Si on prend des coordonnées polaires /• et 0, liées aux coordonnées cartésiennes par les formules

.i==/-cosQ, // = /sinO,

cette équation devient :

^//•=.(/'-j-cose)^/Q,

ou

r =cos 0 ;

dh

équation linéaire en /• dont l'intégrale générale est

7=r Ct'* H — ^{sin Q — cos G).

L'intégrale générale de l'équation (16) est donc :