I. — ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU DEUXIÈME ORDRE

373. Existence de F intégrale générale. — Une équation (liiFérentielle du deuxième ordre est de la forme :

On appelle intégrale générale de cette équation une fonction y de :r et de deux constantes arbitraires C^ et Cg,

y = z> ^.r, Cp CJ,

vérifiant identiquement l'équation. On peut se rendre compte de l'existence de cette intégrale générale par les considérations suivantes, analogues à celles que nous avons développées, k propos de l'équation du premier ordre (N° 358).

Employons, pour simplifier l'écriture, la notation des dérivées.

L'équation (1) définit -yV ou ij" en fonction de x, y, //'. Soit :

une des valeurs y', tirée de l'équation (1). Cherchons à former, à l'aide de la formule de Mac-Laurin, une série ordonnée, suivant les puissances entières et positives de or, vérifiant l'équation (1). Cette série sera de la forme

6c)0 COURS D'ANALYSE

11 s'agit de calculer les coefficients ^/o^ ^o? //o s ••• 4"^^ ^^'^^ ^^^ valeurs de la fonction // et de ses dérivées successives pour .r ^^0. Nous allons voir que tous ces coeiïicients s'expriment, en fonction des deux premiers, qui restent arbitraires. En efïet, dans l'équation difFérentiolle donnée (!''"'), faisons a' = 0, //, //', //'' prennent des valeurs //o,///», //o' et on a :

Pour avoir i/l" difïerentions l'équation (1''"*) par rapport à .r, en nÀus rappelant que // et i/ sont fonctions de .r ; il vient :

Hn faisant dans cette relation x = 0, on a y^' en fonction de //o^t ^o> ^'*i' y» e^t connu, en fonction de ces deux quantités. Déiivant de nouveau la relation (3) par rapport à x et faisant ensuite .i:.= 0, on a 7/î,^ en fonction des ?/„ et //^ ... Et ainsi de suite.

On voit donc que tous les coefficients de la série (2) sont des fonctions connues des deux premiers//^ et //„. Si cette série est convergente, elle converge dans un intervalle, symétrique par rapport à 0, et, dans cet intervalle, elle définit une fonction ^^e .r, //„ //;,

vérifiant l'équation, et contenant les deux constantes arbitraires //^ et u'q. Il peut se faire que cette série diverge, cela arriverait, par exemple, si le calcul donnait pour une des quantités i/J , j/i \ •• une valeur infinie. Nous n'examinerons pas les difficultés qui se présentent alors, et nous nous contenterons des considérations ci-dessus, pour établir l'existence de l'intégrale générale.

Ces considérations montrent que, en général, une solution // de l'équation (4) est déterminée, quand on connaît les valeurs (jue prennent cette fonction i/ et sa dérivée y' pour r = 0. En regardant .r et // comme les coordonnées d'un point, on peut dire qu'une courbe intégrale est, en général, déterminée (juand on connaît le point où elle coupe l'axe des // et le coefficient angulaire i/\ de la tangente en ce point.

FQr.iTIOys DIFFÉlîEyTTELLES DU DEUXIÈME ORDRE 0(.i

Au lieu (les constantes arbitraires //^ et //o, qui figurent clans l'intégrale générale, on peut évidemment en faire figurer d'autres C, et (]j, en remplaçant //^ et y'^ par des fonctions de deux cons-

t;mt«'s ;n])ltraires C, et C^ :

ces <'\ pressions étant assujetties à la seule condition que l'on peut choisir (', et C^, de telle façon que y^ et //é puissent prendre des valeurs quelconques données.

L'intégrale générale (4) devient alors une fonction de .r et des deux constantes Cj et Cj,

Remarque. — On pourrait, de même, par l'emploi de la série de Taylor, former une fonction

qui vérifie l'équation et qui soit telle que cette fonction // et sa dérivée //' prennent, pour x = Xq, des valeurs arbitraires y^ et y[^. On calculera, par le même procédé que plus haut, les valeurs //„', //o ', •• que prennent les dérivées successives pour x = x^ et on vérifiera, de même, qu'elles s'expriment toutes en fonction de y^ et //,;.

Intégrales particulières ; intégrales singulières. — Les intégrales particulières sont celles qu'on obtient en particularisant les constantes arbitraires figurant dans l'intégrale générale. Il peut exister d'autres solutions qu'on appelle singulières.