Exemples d'intégrations par séries

1" Soit l'équation

Supposons la fonction inconnue // développée en série, par la formule de Mac-Laurin :

6o2 COL lis DWSALYSE

L'équation (5) dérivée, par rapport à .r, un nombre quelconque de fois, donne

= ih

en faisant a==0 dans ces relations, on voit que les dérivées d'ordre pair sont, pour jl' = 0, alternativement, égales à — t/^ ct-{-i/^, les dérivées d'ordre impair à y^ et — y^. On a donc :

!/=I/o-^~I/o j-Tj-Z/u OX^""^ 1.2.3.4 ^""^ •"

Kn réunissant les termes en //„, on voit que le coefficient de //^ est :

c est-à-dire cos.r ; et, en réunissant les termes en //'^, on voit que leur coefficient est

c'est-à-dire sin u. On a donc l'intégrale générale de l'équation (5) sous la forme

y=//ocos.i-h//; sin.r,

avec deux constantes arbitraires t/^ et y^. Il est facile de vérifier que cette fonction // substituée dans l'équation difl'érentielle (5) rend les deux membres identiques, quels que soient y„ et //i.

On arrivera au même résultat, par la méthode des coefficients indéterminés, en substituant, dans l'équation difFérentielle, une série de la forme

et écrivant que l'équation est identiquement vérifiée : on trouve

EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU DEUXIÈME ORDRE 6o3

que tous les coefficients a,,..., a,,,... s'expriment à l'aide des deux premiers et que l'intégrale générale est

y = a^^ cos :v -|- a^ sin JCy

«o et a^ désignant des constantes arbitraires. 2*^ Soit l'équation

(6) y'-uy-y=o.

Actuellement, si on calcule, de proche en proche, toutes les valeurs des dérivées i/'»' y i/'J' y..- correspondant à .2' = 0, aucune de ces valeurs n'est infinie. On est donc conduit à penser que, dans le voisinage de :r = 0, l'intégrale générale est développable par la formule de Mac-Laurin, en une série de la forme.

Substituons ce développement dans l'équation (6), et écrivons que, après la substitution, le coefficient de .x" est nul; il vient

{n H- 2)(n -f- i)a»+2 — na„ — a„ = 0, d'où

Faisant, successivement, n= 1,2,3, ..., on voit que cette relation donne tous les coefficients d'indices pairs, en fonction de a^ :

^i — 2 ' * — 2.4 * 2.4.0*'** et tous les coefficients d'indices impairs, en fonction de a^ :

"' — ~3~' »~X5"' "'— 3.5.7'-* * Donc, l'expression de y devient

6o4 COURS D'ANAf.YSE

Les deux séries, entre parenthèses, sont convergxMites pour toutes les valeurs de œ : on a donc l'intégrale générale de l'équation (6;, avec deux constantes a^ et a^. On peut remarquer que

la série qui multiplie «„ est eT : en donnant à l'arbitraire a^^ la valeur 1 et à a^ la valeur 0, on voit donc que l'équation admet

l'intégrale particulière <?T, ce qu'il est aisé de vérifier.