II. — CAS DE RÉDUCTION AU PREMIER ORDRE
375. Cas de réduction au premier ordre. — Nous allons indiquer deux cas dans lesquels l'intégration d'une équation différentielle du deuxième ordre se ramène à l'intégration d'une équation du premier ordre, suivie d'une quadrature. On peut alors terminer l'intégration, toutes les fois que l'équation différentielle du premier ordre, à laquelle on est conduit, rentre dans un des types intégrables que nous avons indiqués. Ces deux cas types sont les suivants :
1® L'équation ne contient pas /y ; 2^ L'équation ne contient pas .r.
376. Premier type. L'équation différentielle ne contient pas //. — Soit une équation différentielle de la forme
OÙ manque ?/. Dans ce cas, on prend comme fonction inconnue y et on remarque que
-^ dx
L'équation s'écrit alors
Elle est du premier ordre en y' . Supposons qu'on sache intégrer cette équation et soit
CAS DE nr.lJl ( I l<).\ AU l'HEMIEH OliDHE fx,-,
son intégrale générale, ('. désignant une constante arbitraire. D'après la siiiiiilication de//', on peut écrire
On a, ainsi, l'intégrale générale de l'équation 7), avec deux constantes arbitraires C et C.
KxEMPLE. — Soit à intégrer l'équation (9) 3xy' = y^+2.r^
Comme v manque, on prend y' comme inconnue auxiliaire :
du' remplaçant // par —j—. on a l'équation, du premier ordre en //
équation homogène. Pour l'intégrer, on fait :
elle devient
dx ou, en séparant les variables x et r,
i dx dz
Déconq)Osons la fraction rationnelle du deuxième membre en fractions simples ; nous avons
1 dx dz tlz__
En intégrant, on a :
^[loga— log6]==log(.^— 2) — log(.3— 1), ^log^ = log-^— f-.
6o6 COURS D'ANALYSE
c désignant une constante. On tire de là :
Comme on
a posé ?/ =
= zx etqi
le 1/ est
eoal a -7^, il
vient
dx
(il) y= I x^^^^^ dx + c'.
On a, ainsi, l'intégrale générale de l'équation donnée, avec deux constantes arbitraires c et c' .
Il est facile d'effectuer la quadrature qui figure dans l'expression (il) àa y : il suffit de poser
•^ — =11^, dx = 3cn^du^ ce qui donne
on est ainsi ramené à l'intégration d'une fraction rationnelle en u. La décomposition en fractions simples donne
On a donc
^•.1 .s D /•: H r.Duc Tio .V m r n r. m ii: h (t n u n /; Go;
cl, en revenant à la variable .r par la formule
-(vf]-^' 4(f)'- ']-■'■
Remahque. — Dans certains cas, en intégrant l'équation du premier ordre (8), il est plus commode d'exprimer x en fonction de y' et de mettre T intégrale générale de cette équation sous la forme
(12) x^'liy',0.
On peut alors exprimer //, a l'aide de y' ^ en partant de la
relation
dy
dx qui donne, en tirant r/.r de (12),
dy = l/y^^iX)dl/, où y désigne la dérivée de '\ {y', C; par rapport \\ y. On a donc (13} y^fy'^'y\C^dy'^a.
Les équations (12) et (13) définissent x et y en fonction de //': l'élimination de y' donnerait l'intégrale générale de l'équation, avec les deux constantes C et C .
377. Deuxième type. L'équation ne contient pas x. — Soit une équation dilférentielle du d.euxième ordre de la forme :
ne contenant pas x. On la ramène à une équation du premier ordre entre y c^ y-
(5o8 COURS D'ANALYSE
îl suflit de remarquer que l'on peut écrire
dx dy dx
ou, comme
