CAS DE RKDUCTIOS M' PREMIER ORDRE

et, en remplaçant // par son expression (17),

'Y désignant la dérivée de '| par rapport à y'. On a alors

Les deux expressions (17) et (18) donnent .r et //, exprimées en fonction de la variable auxiliaire //'. L'élimination de //', entre ces deux expressions, donne une relation entrée", y,C etC^ : c'est l'intégrale générale de l'équation différentielle.

Exemples. Premier exemple. — On est conduit en mécanique à des équations de ce type , quand on cherche le mouvement rectiligne d'un point sollicité par une force, dont l'intensité dépend seulement de la position et de sa \>itesse du point.

Fi g. 2o5.

En effet, considérons un point M de masse m, qui se meut sur un axe Ox (fig. 205), sous l'action d'une force X, dont la valeur

est fonction de l'abscisse .r du point et de sa vitesse {f = —j—f

L'équation du mouvement est alors d'x

m—TT

équation différentielle du deuxième ordre, dans laquelle manque la variable indépendante /. D'après la méthode générale, on ramène cette équation au premier ordre, en prenant comme inconnue auxiliaire la dérivée

dx

dt APPELL. Analyse. ^9

6io

COVRS D ANALYSE

On a alors

d'-x dâ

dv dv dx dç dt dx dl dx ^ '

et l'équation

s'écrit

équation du premier ordre, définissant v en fonction de x.

On peut remarquer qu'en chassant le dénominateur dx, ou peut écrire l'équation sous la forme

d'-^=f\^i,s>)dx,

qui est la relation fournie par le théorème des forces vives.

Une fois v trouvé, en fonction de .r, par l'intégration de cette équation,

dx on a, comme {> = —7— , di

, dx

dl =

On a, ainsi, l'équation du mouvement, avec deux constantes arbitraires, qu'on détermine quand on connaît à l'instant initial t = t^, la position initiale x^ et la vitesse initiale ('„ du mobile.

Deuxième exemple. Courbe élastique plane. — Cherchons une courbe plane dans laquelle la courbure, en chaque point, varie proportionnellement à l'ordonnée de ce point. Cette courbe est la figure d'équilibre d'une lame élastique, dont la fibre moyenne est rectiligne à l'état naturel et que l'on courbe en faisant agir sur les deux extrémités des forces et des couples.

Le rayon de courbure, en un point de la courbe, étant R, on doit avoir

J JL

CAS Di: IU:DiL II().\ AU PREMIER ORDRE 6ii

a désignant une constante. Remplaçant R par son expression, on a TiMi nation du deuxième ordre

dans laquelle manque la variable indépendante .r.

Uemplaçons alors y par — - — =y —j — , il vient

u'dy' yfJy

d'où, en intégrant les deux membres,

On tire de là, en résolvant par rapport à y',

la' • Hemplaçant ij par —y- et resolvant par rapport a </^, on a,

après intégration.

lii ■'= / / '", . . , <^y + C-

Telle est l'équation de la courbe. La valeur de la constante C n'intlue pas sur la l'orme de la courbe, car cette constante vient simplement s'ajouter à x\ quand C varie, la courbe se transporte parallèlement à O.r. \a\ constante C influe, au contraire, sur la l'orme de la courbe ; si C* est supérieur à 1, la courbe ne peut pas couper l'axe 0^, car, dans ce cas, pour y =^ 0, y' est imaginaire ; si C" est inférieur à 1, la courbe coupe l'axe 0.r et, aux points d'intersection, elle présente des inflexions, car, y étant nul, y'' l'est aussi, en vertu de l'équation difFérentielle.

6i2 COURS D'AyALYSE

L'intégrale figurant dans l'équation (19) ne peut pas être calculée exactement par les méthodes élémentaires : on la calculera par les méthodes d'approximation.