Intégrale générale. — Soit une équation dillerentielle
d'ordre n. On démontre, par une méthode analytique analogue à celle que nous avons suivie pour les deux premiers ordres, que cette équation admet toujours une solution ;/ fonction de jc et de n constantes arbitraires :
(21) ?/ = cp(.r, (;,C„...,CJ.
Ces constantes doivent pouvoir être déterminées de telle façon que, pour une valeur particulière de la variable .r, 0 par exemple, la fonction y et ses [ii — 1) premières dérivées, par rapport à .r, prennent des valeurs arbitrairement choisies.
Cette solution (21) s'appelle l'intégrale générale de l'équation.
En donnant à certaines constantes des valeurs numériques, dans l'expression (21), on obtient des solutions ou intégrales particulières.
L'équation différentielle peut admettre quelquefois d'autres solutions que l'intégrale générale et les intégrales particulières : ces solutions, quand elles existent, s'appellent, comme pour le premier ordre, intégrales singulières.
379. Type d'équation réductible au premier ordre. — Une é([uation d'ordre n est réductible au premier ordre, quand elle ne contient ni la fonction inconnue, ni ses dérivées d'ordre 1, 2, ...,(/« — 2). En effet, l'équation est alors de la forme :
/ (Jl A I Ii).\s D'ORDIlh: qVELCOSQUK «lî
lin |)i»sai]t
.t on la ranH-n<' l\ la ((triiic
é([uation du picmior ordre. Cette équation étant intégrée, a pour intégrale générale
Pour avoir //, on est ensuite ramené à trouver une fonction i/ telle ([ue
ee ([ui se iera en intégrant, successivement (n — 1) fois par rapport a .r et ajoutant, chaque fois, une constante arbitraire.
KxEMPi.E. — Soit à intégrer l'équation : Posons
l'équation devient
if.r équation linéaire en r. Pour l'intégrer, faisons
et déterminons // <le façon à faire disparaître les termes en c, il vient
du
6i4 COURS D'AXALYSE
La première de ces équations est satisfaite par
La deuxième donne alors
dz , -i-C
On a donc
i> = ?/s = ^'* -f- Cj:\
Pour déterminer ?/ en fonction de :r, revenons à l'équation
nous avons :
Multiplions par djc et intégrons, nous avons
Multiplions par do- et intégrons :
dîj .r* .ï-^
"^ — W"^^"2(^"^^^''"^^'^• Enfln, multiplions par djr et intégrons, nous avons l'intégrale générale de l'équation (22) :
avec quatre constantes arbitraires C, Cj, C^, C„.
