Théorèmes généraux. — Posons, pour abréger

L'équation s'écrit alors

Voici quelques propriétés qui résultent immédiatement de la forme linéaire de 'f (y)-

6i6 COURS D'ANALYSE

Théorème I. — Soit //, une fonction quelconque de x, C, une constante, on «, identiquement y

cp(C?^)=C'^(y).

En effet

expression qui est évidemment identique à Cï)(y).

Théorème II. — Soient u et \> deux fonctions quelconques de x, on a

En effet,

Comme la dérivée d'une somme est la somme des dérivées de ses termes, on a

c'est-à-dire cp (//) -f- -^ (<>).

En général, quel que soit le nombre des fonctions u^y w^, u^^ . . . , w^, on a

Théorème III. — Soient y,, ^a' • • •> !/j> ^^* fonctions de Xj C,, C^,. . . , C^, des constantes^ on a identiquement :

? (Ci^i 4- C,i/, H- . . . + C,yJ = C.cp (//,) + C/f (//,) + .. . + C/f (y^).

Ce théorème se vérifie immédiatement : il est une conséquence des deux précédents. On a, en effet, d'après le théorème II,

/\)[-.l / lt).\s 1)11 I i: HK.\ riELLES LiyEAIIlES 617

uKils. (1 apri's le théorème I,

«^t le théorème, (|iic nous avons en vue, est démontré.